经典函数解析式求法

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1、XMJLOVE求函数定义域的方法一．已知函数解析式求函数的定义域如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx，｛x︱x∈R且x≠，k∈z｝例1求下列函数的定义域：（1）y=（—2）0+㏒（x—2）x2解：（1）欲使函数有意义，须满足—2≠0x—1≥0x

2、—2＞0解得：x＞2且x≠3，x≠5x—2≠1∴函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞）x≠0二．复合函数求定义域求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。例2（1）已知函数f（x）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f（x2-1）的定义域。（2）已知函数y=f（2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f（x）的定义域。（3）已知函数f（x）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f（x+1）—f（x2-1）的定义域。分析：

3、（1）是已知f（x）的定义域，求f〔g（x）〕的定义域。其解法是：已知f（x）的定义域为〔a，b〕，求f〔g（x）〕的定义域是解a≤g（x）≤b，即得所求的定义域。（2）是已知f〔g（x）〕的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，求f（x）的定义域的方法为：由a≤x≤b，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。解：（1）令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3，即0≤X2≤3，从而-≤x≤∴函数y=f（x2-1）的定义域为〔-，〕。（2）∵y=f（2x+4）的定义域为〔0，1〕，指在y=f（2x+4）中x∈〔0，1〕，令t=

4、2x+4，x∈〔0，1〕，则t∈〔4，6〕，即在f（t）中，t∈〔4，6〕∴f（x）的定义域为〔4，6〕。（3）由-1≤x+1≤2-1≤X2—1≤2得-≤x≤1XMJLOVEXMJLOVE∴函数y=f（x+1）—f（x2-1）的定义域为〔-，1〕。三．含有字母参数的函数求定义域对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。例3（1）求函数y=（a∈R）的定义域（2）已知函数f（x）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f（x+m）—f（x—m）（m＞0）的定义域。解：（1）要使函数有意义，须满足：ax—3≥0∴（ⅰ）当a＞0时原函数的定义域为｛x︱x≥

5、｝（ⅱ）当a＜0时原函数的定义域为｛x︱x≤｝（ⅲ）当a=0时ax—3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集（2）解：令1≤x+m≤4①1≤x—m≤4②由①得1—m≤x≤4—m由②得1+m≤x≤4+m当0＜m＜时定义域为〔1+m，4—m〕当m=时定义域为｛x︱x=｝求函数解析式常用的方法求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法

6、：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例1：已知是二次函数，若且试求的表达式。解析：设(a0)由得c=0由得XMJLOVEXMJLOVE小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般f(x)=ax2+bx+c(a≠0)（二）换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一

7、个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例2：已知求的解析式。解析：如果把视为，那左边就是一个关于的函数,只要在等式中，用表示,将右边化为的表达式，问题即可解决。令(三)配凑法已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。例3：已知求的解析式。分析：可配凑成可用配凑法解：由令则即XMJLOVEXMJLOVE(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，

8、则要充分利用变量代换，然后联立方程组消