Rudin 泛函分析答案

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1、¼©ÛS2010.91.ppǫ[1,∞),ℓ´÷v^X∞p

2、xi

3、<∞i=1p¢ê£Eê¤x=(x1,x2,···)8Ü.3ℓ¥UÏ~{½Â{Úppê{¤Ǒ¢£E¤5m§¼êdp:ℓ×ℓ→RdP1d(x,y)=∞

4、x−y

5、pppi=1ii∀x=(x,x,···),y=(y,y,···)ǫℓp1212ppppÁyµdp3ℓ×ℓþk½Â§§´ål¼ê§ℓ:=(ℓ,dp)"pp«««µǑy²dp3ℓ×ℓþk½Â§´ål¼ê§
y²±eAت1)Young11ت§p

6、,q>1,p+q=1§apbqab≤+,∀a,b≥0pq´wѧéa,b>0/y²ùت"Ú?λ>0a§-a=λb"w,§·y²∀b>0§3(0,∞)þ¼êbpbqp2F(λ):=λ+−bλpq="ù^ê{)û"1+1=12)H¨olderت§p,q>1,pq§XNXN
1XN
1ab≤appbppiiiii=1i=1i=1∀a1,···,aN,a1,···,bN≥0PNTت

7、^Youngت§^Xe{y²"3aibi¥Úëi=1êλ>0§XNXNXNλpλ

8、−q
ab=(λa)(λ−1b)≤ap+bqiiiiiipqi=1i=1i=1λpXNλ−qXNpq=ai+bi=:F(λ),∀λ>0pqi=1i=11Ïd§XNaibi≤minF(λ)λ>0i=1Ñminλ>0F(λ)=¤H¨olderتy²"3)Minkowskiت§p≥1§XN1XN
1XN
1(a+,b)pp≤app+bppiiiii=1i=1i=1∀a1,···,aN,a1,···,bN≥0w,§y²p>1/"dH¨olderت§¿5¿(p−1)q=p£ù11p

9、p+q=1¤,XNXNpp−1(ai+bi)=(ai+,bi)(ai+,bi)i=1i=1XNXN

11≤app(a+b)pq+iiii=1i=1XNXN

11+bqq(a+b)pqiiii=1i=1ddáǑMinkowskiت"2.^þùã{ÑXe½ny²µ½½n½nn(X,d)´S;ålm§T:X×X→R÷vd(Tx,Ty)

10、~©§>¯µ(d2y2=f(x,y),xǫ(0,1)dxy(0)=y(1)=0«««µkÑ>¯(d2ydx2=g(x),xǫ(0,1)y(0)=y(1)=0)ª"2

11、^ùªò¯z¤äØÄ:/ªÈ©§"2SÜ©S):2010.93.kò¯z¤È©§Z1y(x)=−k(x,s)F(s,y(s))ds,x∈[0,1]0ùpk(x,s)´½Â3[0,1]×[0,1]þXeëY¼êµ(s(1−x),0≤s

12、Y§éuy÷v'ux∈[0,1]Lipschitz^µ

13、F(x,y1)−F(x,y2)

14、≤L

15、y1−y2

16、,∀x∈[0,1],y1,y2∈R5¿0≤k(x,s)≤s(1−s),∀x,s∈[0,1]±y²µ0

17、dK(x,y)k=1(½d:X×X→R´Xþål¼ê§(X,d)"2.ÁyC[a,b]¥ØU«¤õª¼ê8Ü´1j8"«««µPm´gê≤m−1õª8ܧPm¥mX−1kp(a0,···,am−1)=akxk=0(a0,a1,···am−1ǫR)yPm´C[a,b]¥4DÕ8"ǑyÙ´48Ay²µ3Pm¥5åld
mX−1ρmp(a0,···,am−1),p(b0,···,bm−1)=

18、ak−bk

19、k=0(½ålρmd"3.NND(R)´3Rþ½Âäk

20、

21、8¡gëY¼ê8Ü"NNÁyµD(R)´L(R)??Èf8«««µd−1PN
1ce1−

22、x

23、2,

24、x

25、:=x22<1iρ(x)=i=10,

26、x

27、≥1.N½ÂρǫD(R)§Ù¥Z−1−1c=e1−

28、x

29、2dx

30、x

31、<1Nρn(x,y)=nρ(n(x−y))1w,§suppρn=B(y,n)§ZNρn(x,y)dy=1,∀yǫRRNN
y²µ∀fǫL(R)suppfkZ§dfn(x)=ρn(x,y)f(y)dyRNNN½Â