张祖锦点集拓扑作业讲解

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1、张祖锦点集拓扑学作业讲解张祖锦点集拓扑学作业讲解作者张祖锦赣南师范学院数学与计算机科学学院2016年5月5日张祖锦点集拓扑学作业讲解Ⳃᔩ张祖锦点集拓扑学作业讲解ⳂᔩⳂᔩI1㄀1⃵作Ϯ2㄀2⃵作Ϯ3㄀3⃵作Ϯ4㄀4⃵作Ϯ5㄀5⃵作Ϯ6㄀6⃵作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解ⳂᔩⳂᔩII7㄀7⃵作Ϯ8㄀8⃵作Ϯ9㄀9⃵作Ϯ10㄀10⃵作Ϯ11㄀11⃵作Ϯ12㄀12⃵作Ϯ13㄀13⃵作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解ⳂᔩⳂᔩIII14㄀14⃵作Ϯ15㄀15⃵作Ϯ16㄀16⃵作Ϯ17㄀17⃵作Ϯ18㄀18⃵作Ϯ19㄀19⃵作Ϯ20㄀20⃵作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解Ⳃ

2、ᔩⳂᔩIV21㄀21⃵作Ϯ22㄀22⃵作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀1⃵作Ϯ1㄀1⃵作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀1⃵作Ϯ1.证明:(AB)∩(CD)=(A∩C)(B∪D).证明.c1.AB=A∩B:{{x∈Ax∈Acx∈AB⇔⇔⇔x∈A∩B.cx̸∈Bx∈B2.cccc(AB)∩(CD)=(A∩B)∩(C∩D)=A∩[B∩(C∩D)]cccc=A∩[(B∩C)∩D]=A∩[(C∩B)∩D]cccc=A∩[C∩(B∩D)]=(A∩C)∩(B∩D)=(A∩C)∩(B∪D)c=(A∩C∩(B∪D)c.张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀1⃵作Ϯ2

3、.证明:(A1∪···∪An)(A1∩···∩An)=(A1A2)∪(A2A3)∪···(An−1An)∪(AnA1).证明.cc1.A⊂B⇔A⊃B(逆否命题等价).2.“⊃”:记An+1=A1,则AA=A∩Ac⊂A∪···∪A)∩(A∩···∩A)c=左端.ii+1ii+11n1n3.“⊂”:设x∈左端,则x∈A1∪···∪An,x̸∈A1∩···∩An.于是∃1≤i≤n,s.t.x∈A.不妨设x∈A1.令i1k=max{j;1≤j≤n,x∈A1,···,x∈Aj},则1≤k

4、㠀ⱘx2Ai,߽⫼(Ai[


An[A1[


Ai1)n(Ai


AnA1


Ai1)(AinAi+1)[


(AnnA1)[


(Ai1nAi).张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀1⃵作Ϯ3.设有集合A1,···,An,作k−1B1=A1,Bk=Ak∪j=1Aj(k>1).证明:B1,···,Bn互不相交,且∪kA=∪kB,k=1,2,···,n.j=1jj=1j证明.1.“B1,···,Bn互不相交”:对k

5、⊂A∩Ac=∅.ki=1ikkkk2.用数学归纳法证明“∪j=1Aj=∪j=1Bj,k=1,2,···,n”:当k=1时,B1=A1;当k=2时,B1∪B2=A1∪(A2A1)=ccA1∪(A2∩A1)=(A1∪A2)∩(A1∪A1)=A1∪A2;假设当k=m时,结论成立,则当k=m+1时,∪m+1B=∪mB∪B=∪mA∪[A(∪mA)]=∪m+1A.i=1ii=1im+1i=1im+1i=1ii=1i张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀2⃵作Ϯ2㄀2⃵作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀2⃵作Ϯ1.设X={a,b,c},Y={d,e,f,g},R={(a,

6、d),(a,e),(b,f)},−1A={a,c},B={d,e,g}.试求R(A),R(B),R的值域与定义域.解答.1.R(A)={y∈Y;∃x∈A,s.t.xRy},这就是说:R(A)就是R中第一个坐标在A中的元素的第二个坐标,R(A)={d,e}.−1−12.R(B)={x∈X;∃y∈B,s.t.xRy},这就是说:R(B)就是R−1中第二个坐标在B中的元素的第一个坐标,R(B)={a}.3.R的值域R(X)={d,e,f}.−14.R的定义域R(Y)={a,b}.张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀2⃵作Ϯ2.设R⊂X×Y.试证:R(A∩B)=R

7、(A)∩R(B),∀A,B⊂X⇔R({x})∩R({y})=∅,∀x,y∈X,x̸=y.证明.1.“⇒”:取A={x},B={y},则R({x})∩R({y})=R({x}∩{y})=R(∅)=∅.2.“⇐”:显然有R(A∩B)⊂R(A)∩R(B).往证R(A∩B)=R(A)∩R(B)如下:{y∈R(A)⇒∃x1∈A,s.t.x1Ryy∈R(A)∩R(B)⇒y∈R(B)⇒∃x2∈B,s.t.x2Ry()用反证法.若x1̸=x2,则⇒x1=x2y∈R({x1})∩R({x2)},这与题设矛盾⇒y∈R(A∩B).张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀3⃵作Ϯ3㄀

8、3⃵作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解㄀3⃵作Ϯ1.给定R上的如下关系{}R=(x,y)∈R2;x−y∈Z.试证:R是一个等价关