空间群的推导2016

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1、2016/12/14晶体学和晶体结构内容提纲研究生课程FundamentalsofCrystallography•引言第5章空间群的推导•空间群的推导方法主讲：王辉教授•不同晶系的空间群华南理工大学材料科学与工程学院金属材料系•总结2016年秋季学期王辉mehang@scut.edu.cn8-238空间群spacegroup•空间群是使晶体的周期性结构变换成它自身的对称操作(平移操作、点对称操作以及这两者的组合)的集合引言•只有空间群才能完整地描述晶体结构的全部对称性，既包括宏观对称性，也包括微观对称性12016/12/14空间群的推导空间群

2、的符号•由14个Bravais点阵即14个平移群与32个晶体•空间群符号由两部分组成一是表示Bravais点阵类型的字母P,A/B/C,I,F,R学点群组合而成，一共有230种组合其次是字母右方的一个或几个对称性符号，对于点式空间群，就是点群的符号非点式空间群则至少有一个非点式对称操作符号•一个简单的符号可以描述空间群的全部对称操作点式空间群symmorphic点对称操作与平移操作的其它组合–将点群的点对称操作与平移操作结合，考察派生出的新对称要素，得到点式空间群的所有对•平移和正交反映面的组合称操作，一共有73种组合•旋转轴与垂直平移的组合

3、–对点式空间群而言，它的点群的对称操作也正好是空间群本身的对称操作•反演与平移操作的组合–点式空间群也可能有螺旋轴或滑移面22016/12/14平移和正交反映面的组合旋转轴与垂直平移的组合•平移和垂直于平移的反映面的连续动作相当于与•基转角为=2/n的旋转轴A与垂直于它的平移的这个反映面相距/2处的一个反映面连续动作相当于旋转轴B，旋转方向与基转角均•也适用于平移与滑移面的组合与A相同，B位于AA’的垂直平分线上，与AA’相距/2ctg(/2)m1m2213A’’B213/2AA‘旋转轴与垂直平移的组合反演与平移操

4、作的组合•仍为反演操作，只不过反演中心移动了平移距离的一半3W2W/2132016/12/14点式空间群的推导思路将14种Bravais点阵和与之相协调的32种晶体学点群相结合，就是将具有某种晶体学点群的客体沿着适当的方向放到点阵的每一个阵点上不可以把点群222放在立方点阵的阵点上，也不能把点群m3m放在三斜点阵的阵点上空间群的推导方法+空间群的图解等效点（等效位置）•选取点阵轮廓的俯视图，原点在左上角。采用右手规•等效位置图上的每个圆圈可代表一个原子，也可则，a轴指向页底，b轴向右，c轴从纸面出来以代表一组原子•等效位置图：在每一

5、阵点处，用一组圆圈表示客体的对称操作的效果，+号表示纸面上方，-号表示纸面下方，•一般等效点（位置）圆圈内逗号表示客体手性的变化将空间群所有的对称操作作用于一个一般起始点上，得•对称要素配置图到一组在对称性上相关联的等效点，形成一个等效点系•特殊等效点（位置）等效点位于对称要素上bca42016/12/14空间群图解推导：Pmm2正交晶系的mm2点群与正交晶系的P点阵结合1.将点群mm2的对称要素放在P点阵的原点位置2.在原点附近取一个一般点(x,y,z)，用空心圆圈表示，将点群的对称操作作用于它，在原点附近产生四个一般等效点，这是点群mm2的

6、一般等效点系（与点群图解略有不同）3.引入平移对称操作，对原点周围的一般等效点进行平移操作4.在点阵单位周期内考查所有等效点之间新的对称要素点群mm2的图解空间群Pmm2的图解空间群图解推导：Cmm2•在C点阵的每个阵点上加上适当方向的具有mm2对称性的客体，于是围绕任意一个阵点，整个晶体的点对称性都是mm2•注意平移操作(a+b)/2与点操作的组合产生了新的非基本对称操作，即非点式对称操作52016/12/14空间群图解推导：Amm2正交晶系的点式空间群–Amm2,Bmm2,Cmm2是等价的吗？将正交晶系的三个点群和正交晶系的4个点阵–A心、

7、B心和C心Bravais点阵是等价的，但和点群mm2结合结合，得到正交晶系的13个点式空间群时，对于A心或B心，2次轴平行于有心面，而对于C心，2次轴垂直于有心面，所以导出的空间群也不同•P222,Pmm2,Pmmm–Bmm2和Amm2等价•C222,Cmm2,Amm2,Cmmm•I222,Imm2,Immm•F222,Fmm2,Fmmm点式空间群点式空间群•三斜晶系：2=2(点群数)1(点阵数)•单斜晶系：6=32•四方晶系：14=72+2•正交晶系：12=34+1•三方晶系：10=52+3•六方晶系：7=713+1•立方晶系：15=

8、5•667附加的空间群73种点式空间群62016/12/14非点式空间群的推导由点式空间群推导157个非点式空间群