固体物理--能带 7.2 布洛赫函数

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1、1晶体系统的哈密顿量将晶体看作是可在全部晶体中运动的价电子与位于格点的离子的集合，其哈密顿量电子部分离子部分价电子与晶格离子间的相互作用2金属中电子运动的典型速率vF可认为离子对电子的运动并无反应，而电子对离子的运动响应如此迅速，以至电子体系的能量总是处于任一瞬时离子位置相对应的最低能量7.2.1单电子近似绝热近似(玻恩-奥本海默近似)106m/s量级离子运动速率最高103m/s量级——电子绝热地响应离子位置的变化3绝热近似有效地将电子运动与离子运动分开成独立的两部分，讨论电子运动时，只须将所有离子固定在某一瞬间位置上在本章可认为所有的离子都处在平衡位置，即相对于绝对零度时的情

2、形，因此对于电子部分在He-i内，认为所有离子都处于格点的平衡位置，电子的波函数只决定于电子的坐标4绝热近似下电子的哈密顿量交叉项，给问题带来复杂性如无交叉项，则电子的薛定谔方程简化为5而F则可以表示为单电子波函数的乘积第j个电子的坐标N：价电子总数而能量本征值Ej为单电子能量，满足可把F当做电子薛定谔方程的近似解，据此算得H的久期值，再用变分法确定单电子波函数jj应满足的方程6设单电子波函数满足正交归一性，即这样电子哈密顿量的久期值根据变分原理，近似程度最好的jj应使E极小。将上式对jj变分，并将Ej作为拉格朗日乘子7第j个电子在所有其它电子作平均分布时的电子间库仑作用势，从

3、而在一定程度上计及了点自己相互作用因此哈特利方程问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及其它电子的平均场中运动的单电子问题87.2.2布洛赫波其中，包括晶体离子势和其它电子的平均势讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程复杂的多电子体系问题周期场中的单电子运动问题哈特利方程晶格周期性，周期性势场任意格矢9复杂的多电子体系问题周期场中的单电子运动问题哈特利方程周期势：包括晶体离子势和其它电子的平均势10引入平移算符Tl，其作用于任意函数的结果具有共同的本征函数将Tl作用于上，得表明哈密顿量与平移算符Tl对易：H的本征函数晶体中电子的本征函数Tl的本征函数可选为11对平移算符，其

4、本征函数应具备的性质由于平移算符具有性质：ll、lm为本征值所以即Tl+m的本征值ll+m满足12又假设晶体为沿方向的N1个原胞、方向的N2个原胞、方向的N3个原胞堆砌而成，将周期性边界应用于电子波函数得l1为平移相应的平移算符T1的本征值13同样可得因此在倒空间引入矢量则是对应于平移算符本征值的量子数14布洛赫定理：对于含有晶格周期势的薛定谔方程，其解必定具有形式证明：如果将电子波函数写成其中具有晶格的周期，即则又15布洛赫定理说明，晶体中的电子波函数具有调幅的平面波形式，被称为布洛赫函数布洛赫函数是晶体电子哈密顿算符的本征函数，由式表示的称为电子波矢，具有量子数的作用。每一

5、波矢的端点在空间是均匀分布的，称为状态代表点，其占据的体积为16因此，状态代表点在波矢空间中的密度为V为晶体体积可见周期性边界条件决定了描述电子状态的波矢在许多方面类似于声子波矢，例如声子波矢电子波矢取值状态密度范围第一布里渊区第一布里渊区17类似地，也可将电子波矢限制在第一布里渊区内，因为如果令则和表示的平移算符的本征值相等，即至少在非简并的情形，和代表的电子态相同为任意倒格矢第一布里渊区可容纳的状态代表点的数目为等于原胞数18这一关系称为色散关系或者能带结构相差倒格矢的波矢描述相同的状态，应当也相应于同样的本征值，即能带结构（色散关系）既然波函数可用波矢标记，能量也可用标记

6、，即此外，由于周期势为实数，可以证明