布洛赫定理及能带课件.ppt

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1、§3.1布洛赫定理及能带在对单电子势情形作具体讨论之前,本节特别强调单电子势具有晶体的平移对称性时所导致的重要结果—使电子波函数具有布洛赫波的形式.1.Bloch定理指出，在独立电子近似和周期场近似下晶体中单个电子的定态波函数具有如下性质在相距任一格矢的两点处仅相差一个相位因子如果将改写成如下形式即则由可得表明：在独立电子近似和周期场近似下晶体中的单个电子,其定态波函数是一个波幅按晶体微观结构周期性来调制的调幅平面波。表明：具有这种性质的波函数，通常称为Bloch波函数或Bloch波。由Bloch波函数来描述其状态的单个电子,通常称

2、为Bloch电子。§3.1.1布洛赫定理及证明Bloch波函数：不再是一个单色平面波因此，式中的不是严格的波动学意义下的波矢。那么，的是什么呢？表示利用晶体的平移算符，显然有于是，Bloch定理又可表示成如下形式表明：在独立电子近似和周期场近似下晶体中单个电子的定态波函数是晶体平移算符的本征函数，相应于平移算符的本征值取决于矢量由此可见，矢量是标记平移算符本征值的一种量子数，称为Bloch波矢。因此，确定平移算符的本征值，就是要确定出Bloch波矢的具体值。具有平移对称性的有限理想晶体应满足Born-VonKarman边界条件因此有

3、即若设则有即表明：Bloch波矢许可的取值是量子化的，可在倒易空间中表示成一个均匀分布的分立的点集，这个点集称为Bloch波矢点集。Bloch波矢点集中每一个点的位矢代表一个Bloch波矢，倒易空间中平均占据的“空间范围”为它在或者说在倒易空间中Bloch波矢点的数密度为由于V是一个宏观量，因此均匀分布在倒易空间中的Bloch波矢点是极其密集的，可以看作是准连续分布。显然，对于任一倒格矢，有表明：相差一个倒格矢的所有Bloch波矢（有无限多）其实是等效的，由它们所标记的晶体平移算符的本征值是完全相同的，因此只需选定其中的一个Bloc

4、h波矢作为代表即可。由于任何一个高Brillouin区中的各点相对于FBZ中的相应点的位矢均为倒格矢，因此在相差一个倒格矢的所有Bloch波矢中可以约定选取位于FBZ中的Bloch波矢作为代表。这样约定选取作为代表的Bloch波矢可称之为简约Bloch波矢。除了特别说明之外，此后所提及的Bloch波矢或波矢均指简约Bloch波矢。显然，简约Bloch波矢的数目为即且这N个不同的Bloch波矢表示为由于简约Bloch波矢标记着平移算符不同的本征值，因此平移算符具有由N个不同的简约Bloch波矢所标记的N个不同的本征值综上所述：Bloc

5、h定理的实质在于它指出了独立电子近似和周期场近似下晶体中单个电子的定态波函数是晶体平移算符的本征函数，这反映了晶体微观结构的平移对称性（或周期性）对晶体中电子的运动所产生的量子效应。晶体的平移算符具有由N个不同的简约Bloch波矢所标记的N个不同的本征值，相应于每一个本征值的本征函数都是在独立电子近似和周期场近似下晶体中单个电子的定态波函数。如果将相应于由某一简约Bloch波矢所标记的本征值的定态波函数记为，则有或2.Bloch定理的证明在独立电子近似下晶体中单个电子的Hamilton算符为是晶体势能场，它等于离子实晶格所产生的静电

6、势能场与晶体中其它所有电子所产生的平均势能场之和在基于晶体微观结构平移对称性（或周期性）的周期场近似下，晶体势能场具有与晶体微观结构相同的周期性（或平移对称性）于是有即因此得到表明：平移算符与Hamilton算符对易。显然，这三个平移算符是两两对易的。由此可知，这四个算符是两两对易的。根据量子力学原理，有共同的本征函数具有平移对称性的有限理想晶体应满足Born-VonKarman边界条件因此有即于是得到所以有即这就是Bloch定理。显然，Bloch定理是晶体微观结构平移对称性或周期性的直接结果，其物理实质是揭示了晶体微观结构的平移对

7、称性（或周期性）对晶体中电子的运动所产生的量子效应。§3.1.2能带及其图示1能带结构：首先，来考察晶体中Bloch电子运动的能量特征。可得其中于是有表明：由波矢所标记的Bloch波函数的能量本征值ε的数值与波矢的取值有关，可记之为由此可见，利用Bloch定理可将单电子定态Schrodinger方程转化为如下形式的本征值方程由于也是一个Hermite算符因此，上述本征值方程是在一个初基元胞的有限区域内具有周期性边界条件的Hermite（或自伴）本征值问题。根据有关的数学理论，对于每一个波矢，本征值方程应有无穷多个分立的本征值和相应的

8、本征函数即若记则有可以证明：作为连续变量的函数是连续、可微的，因此作为简约Bloch波矢的函数应存在上界和下界。不失一般性，可设于是，对于某一特定的正整数n，对应于N个波矢函数给出介于上界和下界之间的N个分立的能量本征值——能级，这N