2020版高考数学复习第八章立体几何与空间向量第2讲空间几何体的表面积与体积练习

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1、第2讲　空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析　设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝.所以米堆的体积为V＝

2、×π·r2·5＝··5≈(立方尺).故堆放的米约有÷1.62≈22(斛).答案　B2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(　　)A.2B.C.D.3解析　由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3.答案　D3.(2017·合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)A.1＋B.2＋C.1＋2D.2解析　四面体的直观图如图所示.侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是的等腰直角三角

3、形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，又SO⊂平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝，故△SAB与△SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为2×××＋2××()2＝2＋.答案　B4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A.36πB.64πC.144πD.

4、256π解析　因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最大值.由×R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π.答案　C5.(2017·青岛模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为(　　)A.1∶2B.1∶8C.1∶6D.1∶3解析　设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，则在△BPP′中，由

5、BN＝2PN得＝.V三棱锥N－PAC＝V三棱锥P－ABC－V三棱锥N－ABC＝S△ABC·PP′－S△ABC·NN′＝S△ABC·(PP′－NN′)＝S△ABC·PP′＝S△ABC·PP′，V三棱锥D－PAC＝V三棱锥P－ACD＝S△ACD·PP′，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABC＝S△ACD，∴＝.故选D.答案　D二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半

6、径为________.解析　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.答案　7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.解析　依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝＝2，解得R＝1，所以V＝R3＝.答案　π8.(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.解析　由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的

7、半圆锥拼成的组合体.∴体积V＝π×12×2＋×π×12×1＝π.答案　π三、解答题9.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.解　(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2

8、＝(＋5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图.则PQ＝＝＝a，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方