2020版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第5讲几何概型分层演练理新人教A版

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1、第5讲几何概型1．(2019·贵阳市监测考试)在[－3，4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x2＋mx＋1在R上有零点的概率为()A.B.C.D.解析：选B.由题意，得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2，所以所求概率为＝，故选B.2．(2019·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－B.C.D．1

2、－解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.3．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≥”发生的概率为()A.B.C.D.解析：选B.因为所以即≤x≤.根据几何概型的概率计算公式得P＝＝.4．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A.B.C.D.解析：选B.若函数f(x)有零点，则4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π

3、.所有事件是{(a，b)－π≤a≤π，－π≤b≤π}，所以S＝(2π)2＝4π2，而满足条件的事件是{(a，b)a2＋b2≥π}，所以S1＝4π2－π2＝3π2，则概率P＝＝.5．(2019·湖北襄阳优质高中联考)已知λ＝3x2dx，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，则在矩形ABCD内(包括边界)任取一点P，使得·≥λ的概率为()A.B.C.D.解析：选D.由已知得λ＝3x2dx＝3×x3＝1.建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0，0)，C(2，1)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，1)

4、，故·＝2x＋y，则满足条件的点P(x，y)使得2x＋y≥1，由图可知满足条件的点P所在的区域(图中阴影区域)的面积S＝2×1－×1×＝2－＝，故所求概率为＝，故选D.6．在区间[0，6]上随机取一个数x，则log2x的值介于1到2之间的概率为________．解析：由题知1

5、径为R，则所求的概率为P＝＝＝.答案：8．在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．解析：设AD＝x，AB＝y，则由三角形相似可得＝，解得y＝a－x，所以矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤＝，当且仅当x＝a－x，即x＝时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为＝.答案：9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率

6、；(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．解：(1)圆O的周长为4π，所以的长度小于π的概率为＝.(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y

7、.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.基本事件为所表示的区域，B＝，则由图可知，P(B)＝＝，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.1．(2019·长春市普通

8、高中质量检测(二))如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A.B.C.D.解析：选A.设OA＝3，则AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝.2．(2019·成都市第二次诊断性检测)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达