高考数学复习计数原理、概率、随机变量及其分布第6节几何概型学案理新人教b版

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1、第6节　几何概型最新考纲　1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.知识梳理1.几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积、体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足上述条件的试验称为几何概型.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3.几何概型的概率公式P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.[常用结论与微点提醒]1.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典

2、概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关.2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　)(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是.(　　)(3)概率为0的事件一定是不可能事件.(　　)(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2.(教材练习改编)有四个游戏盘，将它们水平放

3、稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)解析　如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B).答案　A3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)A.B.C.D.解析　至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.答案　B4.(2018·临沂质检)从区间(0，1)

4、中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是(　　)A.B.C.D.解析　任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴).故所求概率P＝＝.答案　B5.(2018·合肥质检)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为(　　)A.5000B.6667C.7500D.7854解析　S阴影＝S正方形－x2dx＝1－＝，所以有＝＝，解得n≈6667.答案　B考点一　与长度(角度)有关的几何概型

5、【例1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)A.B.C.D.(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.解析　(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概

6、型得所求概率P＝＝.(2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.依题意，点P′在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在上发生”.又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝.故所求事件的概率P＝＝＝.答案　(1)B　(2)规律方法　1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.2.(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝

7、.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.【训练1】(1)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.(2)(2018·西安调研)在区间[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.解析　(1)由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3].故所求事件的概率P＝＝.(2)直

8、线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于3.则＜3，解得－＜k＜.故所求事件的概率P＝＝.答案　(1