量子力学 微扰理论

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1、第五章微扰理论第五章微扰理论第五章微扰理论引言引言量子体系的能量本征值问题,精确求解（少数）：谐振子，氢原子近似解法：微扰理论，变分法，绝热近似，准经典近似。第五章微扰理论引言微扰论：HˆHˆ(0)HˆHˆ(0)：不显含时间t的已知量，可精确求解描写的，且已经包含了体系的主要性质Hˆ：对体系的影响较小，可以看作扰动处理。是Hˆ(0)基础上的修正。Hˆ不显含时间：定态问题（简并、非简并）Hˆ显含时间：非定态问题（跃迁及光的发射和吸收）第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.1、一般情况5.1、非简并定态微扰理论5.1.1、一般情况假设体系的哈密顿量不显

2、含时间，HˆHˆ(0)Hˆ（1）HEˆ（2）nnn其中，HEˆ(0)(0)(0)(0)，（3）nnn上式(3)可精确求解。第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.1、一般情况当H0时，（2）式即是（3），(0)(0)EE，。nnnn当H0时，引入微扰，使得体系的能级发生移动，即：(0)(0)EE，相应的nnnn令，HHˆˆ(1)，（4）是一个小的实参数，它表征了微扰的程度。第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.1、一般情况E及均与微扰有关，可以按照的幂级数展开。nn(0)(1)2(2)EEE

3、EL（5）nnnn(0)(1)2(2)L（6）nnnn(0)(0)其中，E，：零级近似，nn(1)(1)E，：体系能量和波函数的一级修正，nn(2)(2)E，：体系能量和波函数的二级修正。nnLLLL注意：各级修正具有不同的数量级。第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.1、一般情况将E及的展开式代入本征值方程，nn(HHˆ(0)ˆ(1))((0)(1)2(2)L)nnn(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(EEELL)()（7）nnnnnn上述等式成立要求等式两边λ同幂次的系数

4、相等，由此得，零级：(HEˆ(0)(0))(0)0（8）nn一级：(Hˆ(0)E(0))(1)(Hˆ(1)E(1))(0)（9）nnnn二级：(Hˆ(0)E(0))(2)(Hˆ(1)E(1))(1)E(2)(0)（10）nnnnnnLLLL第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.2、非简并情况下的微扰引入的目的是为了按数量级给出（8，9，10）等式子，因此，令1，将Hˆ(1)理解为Hˆ，(1)(1)E和分别为能量和波函数的一级修正。nn第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.2、非简并情况下的微扰5.1.2、非

5、简并情况下的微扰（1）能量和波函数的一级修正将(1)按Hˆ(0)的本征函数系(0)展开，nm(1)(1)(0)nCmm(11)m将上式代入（9），则，(Hˆ(0)E(0))C(1)(0)(Hˆ(1)E(1))(0)nmmnnm第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.2、非简并情况下的微扰C(1)E(0)E(0)(0)HˆE(1)(0)(12)mmnmnnm(0)*以左乘上式两边，并对全空间积分，k(0)*CE(1)EH(0)(0)(0)d(0)*ˆE(1)(0)dkmmn

6、mknnm(0)利用的正交归一性，可得nC(1)()E(0)E(0)E(1)(0)*Hˆ(0)dmmnkmnknknm或第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.2、非简并情况下的微扰(1)(0)(0)(1)Cm()EmEnkmEnknHkn(13)m(1)(0)(0)(1)即，C()EEEH(14)kknnknkn式中，H(0)*Hˆ(0)d，称为微扰矩阵元。knkn(a)能量的一级修正由（14）知，当kn时，1，得,knE(1)(0)*Hˆ(0)dHnnnnn(15)(1)(0

7、)即能量的一级修正E等于Hˆ在态中的平均值。nn第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.2、非简并情况下的微扰(b)波函数的一级修正(1)(0)(0)(1)当kn时，由C()EEEH(14)式可得，kknnknknH(1)knCkn(16)k(0)(0)EEnk(1)(1)(1)(0)将Ck代入（10）式（nCmm）得mH(1)kn(0)nk(0)(0)()kn(17)kEEnk此式为波函数的一级修正。第五章微扰理论5.1、非简并定态微扰理论5.1.2、非简并情况下的微扰表示求和