高等代数北大版教案-第2章行列式

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1、第二章行列式§1引言在中学代数中学过，对于二元线性方程组当二级行列式时，该方程组有唯一解，即，.对于三元线性方程组有类似的结论，在这一章我们把这个结论推广到元线性方程组的情形.为此，我们首先给出级行列式的定义并讨论它的性质.§2排列一授课内容：§2排列二教学目的：理解掌握排列、逆序、逆序数的求法.三教学重难点：逆序数的求法.四教学过程；·２６·定义1由组成的一个有序数组称为一个级排列例是一个4级排列，45321是一个5级排列显然，级排列的总数是.我们记读为“阶乘”.定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的

2、数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数.例2431中，21，43，41，31是逆序，2431的逆序数是4.45321的逆序数为9.排列的逆序数记为()定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.例如2431为偶排列，45321为奇排列.定义把一个排列中两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样的一个变换称为对换.定理1对换改变排列的奇偶性.推论奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次不改变排列的奇偶性定理2任意一个级排列与排列12……n都可以经过一系列的对换互变，并且所做的对换的个

3、数与这个排列有相同的奇偶性.§3n级行列式一授课内容：§3n级行列式二教学目的：理解掌握行列式的定义与简单性质.三教学重难点：n级行列式的定义四教学过程；在给出n级行列式的定义之前，先看一下二级行列式与三级行列式的定义·２６·它们都是一些乘积的和，而每一个乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.定义4n级行列式(4)等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积(5)的代数和，这里是的一个排列，每一项(5)都下列规则带符号，当是偶排列时，(5)带正号，当是奇排列时，(5)带负号，这一定义可

4、以写成这里，表示对所有的n级排列求和.显然，n级行列式是由n！项组成.例1计算行列式.·２６·解：由定义知.例2计算上三角行列式.解：除去为零的项后.换句话说，这个行列式就等于主对角线(从左上角右下角的这条对角线)上的元素的乘积.作为本例的特殊情况，有..主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.实际上，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排列起来，于是定义又可以写成.由此，可得行列式的下列性质·２６·性质1行列互换，行列式不变，即=.§4n级行列式的性质一授课内容：§4n级行列式的性

5、质二教学目的：理解掌握行列式的性质，熟练地加以运用.三教学重难点：行列式性质的运用四教学过程；性质2=性质3=+.性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素相同.性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为式为零.性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号.例1计算n级行列式·２６·.解：.例2一个n级行列式，假设它的元素满足,.证明当n为奇数时，这个行列式为零.§5行列式的计算一授课内容：§5行列式的计算二教学目的：理解掌握矩阵、矩阵的初等变换及方阵的初等变换与行列

6、式的关系三教学重难点：初等变换四教学过程；定义5由sn个数排成的s行(横的)n列(纵的)的表称为一个矩阵.·２６·数，，称为矩阵的元素，称为元素的行指标，称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域中的数时，它就称为这一数域上的矩阵.矩阵也称级方阵，一个级方阵定义一个级行列式称为矩阵的行列式，记为.定义6所谓数域上矩阵的初等行变换是指以下三种变换：(1)以中一非零的数乘矩阵的一行.(2)把矩阵的某一行的加另一行，这里是中任意一个数.(3)互换矩阵中两行的位置.我们称形式如，，的矩阵为阶梯行矩阵，它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所

7、在的下方全为零，如该行全为零，则它的下面的行也全为零.可以证明，任意一个矩阵经过一系列的初等行变换总能变为阶梯行矩阵.显然，阶梯行方阵的行列式都是上三角形的.例计算行列式.·２６·解经过一些列初等行变换可得=.对于矩阵同样可以定义初等列变换，即(1)以中一非零的数乘矩阵的一列.(2)把矩阵的某一列的加另一列，这里是中任意一个数.(3)互换矩阵中两列的位置.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.§6行列式按一行(列)展开一授课内容：§6行列式按一行(列)展开二教学目的：理解掌握余子式，代数余子式概念，利用行列式按一行展开求行列式.

8、三教学重难点：行列式按一行展开求行列式.四教学过程：由行列式的定义，有=,.定义7在行列式·２６·中划去元素所在的第行和第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式称为元素的