高等代数北大版教案-第8章λ-矩阵

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1、第八章-矩阵本章主要介绍-矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。§1-矩阵如果一个矩阵的元素是的多项式，即的元素，这个矩阵就称为-矩阵。为了与-矩阵相区别，我们把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。由于数域中的数也是中的元素，所以在-矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为-矩阵的一个特殊情形。同样可以定义一个-矩阵的行列式，既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念。利用这个概念。我们有定义1如果-矩阵中有一个级子狮不为零。而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为，零矩阵的秩规定为零。定义2一个的-矩阵称为可逆的，如果有一

2、个的-矩阵使==（1）这里是级单位矩阵。适合（1）的矩阵（它是唯一的）称为的逆矩阵，记为关于-矩阵可逆的条件有定理1一个的-矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数。·１０１·§2-矩阵在初等变换下的标准形-矩阵也有初等变换。定义3下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式。初等变换都是可逆的，并且有。为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：代表行（列）互换位置；代表用非零的数去乘行（列）；代表把行（列）的倍加到行（

3、列）。定义4-矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为。等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：（1）反身性：每一个-矩阵与自己等价。（2）对称性：若与等价，则与等价。这是由于初等变换具有可逆性的缘故。（3）传递性：若与等价，与等价，则与等价，引理设-矩阵的左上角，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低。定理2任意一个非零的的-矩阵·１０１·都等价与下列形式的矩阵最后化成的这个矩阵称为的标准形。例用初等变换化-矩阵§3不变因子现在来证明，-矩阵

4、的标准形是唯一的。为此，我们引入定义5设-矩阵的秩为，对于正整数，，中必有非零的级子式。中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子。由定义可知，对于秩为的-矩阵，行列式因子一共有个。行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的。定理3等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为其中，，，是首项系数为1的多项式，且·１０１·。不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个级子式一定为零。因此，为了计算级行列式因子，只要看由列组成的级子式就行了，而这

5、个级子式等于显然，这种级子式的最大公因式就是。定理4-矩阵的标准形是唯一的。定义6标准形的主对角线上非零元素称为-矩阵的不变因子。定理5两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子。由(3)可以看出，在-矩阵的行列式之间，有关系。（4）在计算-矩阵的行列式因子时，常常是先计算高级的行列式因子。这样，由（4）我们就大致有了低级行列式因子的范围了。作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形。设为一个可逆矩阵，由定理1知其中是一非零常数。这就是说，。于是由（4）可知，。因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵。反过来，与单位

6、矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零的数。这就是说，矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价。又矩阵与等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵，，，，，，使得·１０１·=。特别地，当=时，就得到定理6矩阵是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。由此又得到矩阵等价的另一条件推论两个的-矩阵与等价的充分必要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使=。§4矩阵相似的条件在求一个数字矩阵的特征值和特征向量时曾出现过-矩阵，我们称它为的特征矩阵。这一节的主要结果是证明两个数字矩阵和相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和等价。引理1

7、如果数字矩阵，使=（）（1）则与相似。引理2对于任何不为零的数字矩阵和-矩阵与，一定存在-矩阵与以及数字矩阵和使=（）+，（2）=（）+。（3）定理7设，是数域上两个矩阵。与相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和等价。矩阵的特征值的不变因子以后就简称为的不变因子。因为两个·１０１·-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以定理7即得推论矩阵与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。应该指出，矩阵的特征矩阵的秩一定是。因此，矩阵的不变因子总是有个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式。以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因

8、此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子（它们与该矩阵的选取无关）定义为此线性变换的不变因子。§5初等因子这一节与下一节中我们假定讨论中的数域是复数域。上面已经