大学高等数学微分中值定理

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1、第三章微分中值定理与导数应用第一节微分中值定理一、函数的极值及其必要条件定义1设函数f(x)在点的某邻域有定义,则称为f(x)的极大值(或)且有若对(或极小值).(或极小值点).称点为极大值点为极大值,为极小值.定理1设函数f(x)在点处可导,则是f(x)的极值点的必要条件是(费尔马(Fermat)定理)二、微分中值定理定理2若满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则至少存在一点使1.罗尔(Rolle)定理例1验证在定理的条件,例2证明方程的任意两根之间必有的根.推广若f(x)可导,的任意两个根之间必有则方程的根.上满

2、足罗尔并求出定理中的值.例3设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明:在(0,1)内至少存在一点使例4设在(a,b)内有二阶导数，且证明在内至少有一点，使得分析2.拉格朗日(Lagrange)中值定理若满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少有一点定理3使或——拉格朗日中值公式割线AB的斜率:——拉格朗日中值公式AB的方程:作函数即故只要验证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件即可得证.拉格朗日中值公式还可表示成另一形式:由于则有令则若取则*拉格朗日中值定理的应用：如果

3、函数在区间上的导数恒为零,则在区间上是一个常数。推论1例1证明:当设，证明例3证明:证明思路:分分别在[0,x],[x,0]上用L—定理.例23.柯西(Cauchy)中值定理定理4若，满足：（1）在[a,b]上连续;（2）在(a,b)内可导且则至少存在一点使得设在闭区间[a,b]上连续，例1证明:在(a,b)内至少存在一点，使在开区间(a,b)上可导，设在闭区间[a,b]上可微，例2（1）在(a,b)内至少存在一点，使作业微分中值定理证明（2）存在使