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1、第三章多维随机变量及其分布到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量或
2、随机向量.请注意与一维情形的对照.3.1二维随机变量及其分布3.1.1二维随机变量及其分布3.1.2二维随机变量的联合分布函数3.1.3二维离散型随机变量的概率分布3.1.4二维连续型随机变量的概率分布3.1.5几个常用分布实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).说明3.1二维随机变量及其分布函数1.定义设为
3、样本空间,,和随机向量)是定义在上的随机变量,则由它们构成的一个二维向量称为二维随机变量(或二维二维随机变量（X,Y）(X,Y)的联合分布函数X的分布函数一维随机变量X3.1.2、二维随机变量的联合分布函数XYxyX≤xY≤y{,}二维联合分布函数区域演示图:(x,y)定理：的性质（1）关于x或y非降（4）关于x或y右连续（2）（3）（5）对,有(区域演示图见下页)XYx1y1(x1,y1)x2y2(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)3.1.3二维离散型随机变量定义：若只取有限对或可数对实
4、数值则称其为二维离散型随机变量。二维随机变量（X,Y）离散型i,j=1,2,…X和Y的联合概率分布列k=1,2,…离散型一维随机变量Xk=1,2,…X的概率分布列(X,Y)的联合概率分布列的表格形式如下:Xx1x2…xi…y1y2…yj…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………Y如何计算？一般用乘法公式P(AB)=P(A
5、B)P(B)例1整数X等可能的取值：1，2，3，4整数Y等可能的取值：1~X求(X,Y)的联合概率分布列.解：P(X=i,Y=j)
6、i=1,2,3,4j=1,2…iP(X=1,Y=1)=P(X=2,Y=1)=P(X=2)P(Y=1/X=2)所以当j>i时，P(X=i,Y=j)=0当j≤i时P(X=1)P(Y=1/X=1)=(1/4)*1=1/4=(1/4)*(1/2)=1/8……X123412341/40001/81/8001/121/121/1201/161/161/161/16Y可验证：非负性，规范性二维随机变量（X,Y）离散型X和Y的联合分布函数离散型一维随机变量XX的分布分布函数如例1X123412341/40001
7、/81/8001/121/121/1201/161/161/161/16Y求：例２设随机变量 ，随机变量求 和 的联合概率分布列。解则于是于是和 的联合概率分布列:设二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为,则连续型一维随机变量XX的概率密度函数3.1.4二维连续型随机变量不难得出，对连续型随机变量(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：在f(x,y)的连续点例3设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；=c/3=1,c=3解：(1)由确定Cxy01y=x解:(2)求(2)
8、P(X>3/4),P(Y<1/2)注意积分限=37/64y=x013/4解:(2)注意积分限=11/16xy01y=x1/2求(3)P(X<1/4,Y<1/2),P(X=Y)解:(3)=1/16是平面上一条直线01/4xy1y=x1/2例4设(X,Y)的概率密度是设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的位置无关.则质点的坐标（X,Y）在G
9、上服从均匀分布.例下面我们介绍两个常见的二维分布：若二维随机变量（X,Y）具有概率密度记作（X,Y）～N()则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.其中均为常数,且1、二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y0120.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)解(1)由∑pij=1得:a=0.1（2）P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,
