高考数学一轮复习专题17定积分与微积分基本定理（含解析）

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1、专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通1．定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)；(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

3、，即ʃf(x)dx＝F(

4、x)

5、＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则ʃf(x)dx＝0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数，则（　　）A．2B．1C．D．【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1，因此，．故选：D． 【再练一题】计算（cosx+ex）dx为（

6、　　）A．eB．e2C．eD．e【解答】解：（cosx+ex）dx＝（sinx+ex）（）﹣（sin0+e0）＝11．故选：A． 思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．【题型二】定积分的几何意义命题点1　利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】（π）dx＝　　．【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx﹣πx

7、（）dx﹣4π．而（）dx的几何意义为圆x2+y2＝

8、4（y≥0）在x轴上方的面积，所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π．故填：﹣2π．【再练一题】，则T的值为（　　）A．B．C．﹣1D．1【解答】解：根据题意，Mdx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则Mdx，则Tsin2xdxcos2x；故选：A． 命题点2　求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y＝sinx所围成封闭图形的面积为（　　）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的图象，则封闭区域的面积S＝﹣∫sinxdx+∫sinxdx﹣∫sinxdx＝﹣（﹣cosx）

9、（﹣cosx）

10、（﹣cosx）

11、＝cos0﹣cos（）﹣cosπ+cos0+coscosπ＝11+11＝4，故选

12、：B． 【再练一题】如图是函数y＝x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（　　）A．B．C．D．【解答】解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S（）

13、．故选：A．思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s

14、内经过的位移是（　　）A．4.5mB．5mC．5.5mD．6m【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S（3t+1）dt＝（t）5.5；故选：C． 【再练一题】一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（　　）A．1JB．JC．JD．2J【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx∫12（5﹣x2）dx（