带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析（精）

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1、带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析江苏省扬中高级中学刘风华近年來在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后i般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程屮的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。一、磁场范围为圆形例1一质量为曲、带电量为扌的粒子以速度厂从0点沿丁轴正方向射入磁感强度为三的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸

2、面，粒子飞岀磁场区后，从£处穿过工轴，速度方向与工轴正向夹角为30°,如图1所示（粒子重力忽略不计）。7试求：（1）圆形磁场区的最小而积；（2）粒子从0点进入磁场区到达占点所经历的时间；（3）£点的坐标。解析：（1）III题可知，粒子不可能直接由。点经半个圆周偏转到上点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域示沿直线运动到仝点。可知，其离开磁场时的临界点与。点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2,过占点逆着速度门的方向作虚线，与=轴相交，山于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于工轴上，距。点距离和到虚线上

3、卡点垂直距离相等的4点即为圆周运动的圆心，圆的半径*二叫=吓。VbRug得呐。弦长为：要使圆形磁场区域面积最小，半径应为•'的一半,s.面积(2)粒子运动的圆心角为120°,时间d(3)妙距离3R故上点的坐标为(百0）。点评：此题关键是耍找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒了运动轨迹的弦长。二、磁场范围为矩形例2如图3所示，直角坐标系砂第一象限的区域存在沿A轴正方向的匀强电场。现有一•质量为曲，电量为

4、三的电子从笫一象限的某点F(上，8)以初速度4沿・巴轴L的负方向开始运动，经过工轴上的点Q(^,0)进入笫四彖限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与孑轴、轴重合，电子偏转后恰好经过处标原点O并沿h轴的正方向运动，不计电子的重力。求住1j（1）电子经过°点的速度「（2）该匀强磁场的磁感应强度二和磁场的最小而积二。解析：（1）电了从F点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到。点，町知竖直=—£=—<1C3方向：82水平方向:所以电子经过°点时的速度为:▼=肩+£=^2^气

5、fcan^=—=53，设、「与一工方向的夹角为（），可知讯'，所以（）=30°o（2）如图4,电子以与-万成30°进入第四象限后先沿Q"做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿严轴向上的速度经过O点。可知圆周运动的圆心°’一定在X轴上，且F点到。点的距离与到直线少上“点（〃点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出。■点，画出其运动的部分轨迹为弧必所以磁场的右边设偏转半径为方向垂直纸面向里。矩形磁场的长度矩形磁场的最小而积为:点评：此题小粒子进入第四象限后的运动即为例1屮运动的逆过程，解题思

6、路相似,关键要注意矩形磁场边界的确定。三、磁场范围为三角形例3如图5,—个质量为麻，带丄扌电量的粒子在〃。边上的M点以速度丁垂直于力边飞入正三角形为了使该粒子能在办c边上的艸点（oaov）垂真于边飞出ABC,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为〃的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒了的垂力。试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径厂及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间Z；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；解析:qvB（1）由MFr=—得:qB（2）由题意可知，粒子刚

7、进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场小由財点作閲周运动到川点，当粒了刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图6作出圆0,粒子的运动轨迹为弧她尸，圆弧在G点与初速度方向相切，在尸点与岀射速度相切。画岀三角形心，具与圆弧在〃、上、两点相切,并与圆。交于F、G两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识町知ZF0G=60°,所以粒子偏转的圆心角为30（A运动的时间5mtA图6（3）连接8并延长与匕交与F点，由图可知8=2rao+aff_2rcoj30*=a»3O°点评：这

8、道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径己知的特点，结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。四、磁场范围为树叶形例4在砂平面内有许多电子（质量为瞬、电量为三），从坐标0不断以相同速率"沿不同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个垂肓•于砂平面向内、磁感强度为二的匀强磁场，要求这些电子穿过磁