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1、数据分析一因子分析因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是多元统计分析中降维的一种方法。因子分析是研究相关阵或协羌阵的内部依赖关系，它将多个变量综合为少数几个因子，以再现原始变量与因了之间的相关关系。因了分析的主耍应用有两方面，一是寻求基本结构，简化观测系统，将具有错综复朵关系的对象（变屋或样品）综合为少数几个因子（不可观测的，相互独立的随机变量），以再现因子与原变量之间的内在联系；二是用于分类，对P个变量或料个样品进行分类。因子分析与主成分分析有区别。主成分分析不能作为一个模型来描述，它只是通常的变量交换，而因子分析需要构造因子模型；主成分分析屮主成分的个数和变量个数〃相同，它
2、是一组具有相关性的变量交换为一组独立的变量（注意应用主成分分析解决实际问题时，一般只选取前〃?（〃?<"）个主成分），而因子分析的目的是要用尽可能少的主因子，以便构造一个结构简单的因子模型；主成分分析是将主成分表示为原变量的线性组合，而因子分析是将原变量表示为主因子和特殊因子的线性组合。§6.1因子模型1.正交因子模型设X=（X],X2,…，X/J是可观测的随机向量,E（x）=u,D（X）=ZoF=（F],・・・,Fj（mvp）是不可观测的随机向量,且E（F）=O,D（F）=i（即F的各分量方差为1,且互不相关）。£=（£],・・・,£〃）与F相互独立，且雎）=0,卜0（对角阵）
3、。假定随机向量X满足以卜•的模型：X]=d]]F]+al2F2+…+almFm+勺vX?-“2=a2lFl+a22F2+…+%F加+£2<・・・（6.1）X卩-Pp=如许+cip2F2+…+伽“尸加+£“以上模型称为正交模型。用矩阵表示为X=“+AF+F（6.2）（pxl）（/?X1）（pxl）（pxl）（pxl）其屮F=（F],…，你），F,…，臨称为X的公共因子；£=（£[,•・・,£”），5,…疋p称为X的特殊因子；公共因子F],©对X每一个分量X,都有作用，而6只对X,起作用。而且各特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间都是相互独立的。模型中的矩阵A=（9ij）（p
4、xw）是待佔的系数矩阵，称为因子载荷矩阵。州==称为第z•个变量在第丿个因子上的载荷（简称为因子载荷），或称为第丿•个因子为预测第i个变量的回归系数。在正交因子模型中，假定公共因子彼此不相关且具有单位方差。即D（F）=Itfj0在这种情况下，由Z=D（X）=D（AF+£）=E（AF+sAF+£）'=AD（F）A+Q@）=+D2_D—AA（6.3）可知，止交因子模型意味着第/个变量和第比个变量（jHk）的协方差市下式给出^jk=ajak+aj2ak2+…+ajmakm因子分析的冃的首先是由样本协差阵工估计工，然后由分解式（6.3）求得4和D。也就是从可以观测的变量X],…，X
5、”给出的样木资料屮，求岀载荷矩阵A,然后预测公共因子F”…，F,”。又D（X，F）=E（X-EXXF-EF）=E[（X-u）-F]=£[（AF+£）F']=AE（FF'）+E（ef'）=A（6.4）可见A中元素仙刻画变量X,与FjZ间的相关性，称为X,在◎上的因子载荷。2.正交因子模型中各个量的统计意义①因子载荷的统计意义由因子模型（6.1）及（6.4）可知X,与耳的协方差COV（X「Fj）=%j如果变量Xj是标准变量（即E（XZ）=O,=,则cC<7V（XPF7）p厂阿（xj阿（耳）这时因子载荷•就是第i个变量与第/个公共因子的相关系数。它表示X,•依赖尸丿・的分量（比重），由
6、于历史的原因，在心理学屮将模型（6.1）的系数叫做“载荷”。Q”•是第i个变量在第丿个因子上的负荷，它反映了第i个变量在第/个公因子上的相对重耍性。①变量共同度的统计意义因子载荷矩阵4屮各行元索的平方和记为附称为变量X,•的共同度。为了给出力7的统计意义，下面来计算X,方差。WNXJ=Var（^l{aitFt+®）=时+云2上式表明，X,的方差由两部分组成，第一部分肉是全部公共因子对变量X,的总方差所作出的贡献，称为公因子方差；第二部分b；由特定因子乞产生的方差，它仅与变量X,有关,也称为剩余方差。②公因子Fj的方差贡献的统计意义在因了载荷矩阵人小，求A的各列的平方和，记为q；,
7、即q；=工二坊（丿=1,2,…，加）2jl220/的统计意义与Xj的共同度仏恰好相反，g丿表示第个公因子Fj对X的所有分量X],•…，X”的总影响，称为公共因子尸丿•对X的贡献，它是衡量公共因子相对重要性的指标。§6.2FACTOR（因子分析）过程FACTOR过程用下列语句引用:PROCFACTOR选择项；VAR变量；PRIORS方法；PARTIAL变量表；FREQ变量；WEIGHT变量；BY变量；通常只有VAR语句必须跟随在PROCFACTOR语句后面，其余语句是可选择的。1.
