【精品】数值分析报告

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1、北航2008级研究生《数值分析A》计算实习题2008年11月15日1引言32算法设计方案13特殊情况处理44计算结果45结论76参考文献77附录81引言算法背景:幕法，Jacobi方法及QR方法是求矩阵特征值和特征向量的常用数值方法，它们都是造构造迭代产生的炬阵序列來达到口的的。幕法计算简单，特别适用于高阶稀疏炬阵，但其收敛速度不能令人满意，要想加快幕法的收敛速度可采用反幕法及位移技术。Jacobi方法是古典方法，它收敛快，精度高，便于并行计算且算法稳定。用Jacobi方法求出的特征向量在较好的正交性，不过

2、它的计算量较大，当阶数n增大时收敛速度减慢，因此Jacobi方法适用于求低阶的对称矩阵的全部特征值和特征向量。由J.GFrancis捉出的QR算法的基本思想源于LR算法，即对矩阵分解获得一个相似于原矩阵的序列，使其收敛到一个易于求得特征值的形式。LR算法比QR算法收敛速度快，但不稳定。QR方法是60年代发展起来的，被人们称为数值数学，最值得注意的算法Z—，它是H前求任意矩阵全部特征值和特征向量最有效的方法。利用矩阵的QR分解，通过逆序相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变化为一个近似的上三角矩阵来求全

3、部特征值。这里QR分解是指将矩阵化为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵左乘的形式。但是基木QR算法的收敛往往过慢，因此通常采用带原点位移的QR算法。乂由于A是实矩阵，它可能有复特征值，如果采用一般带原点位移的QR算法，变换中带有复位移屋，则造成复数运算。故而采用带双步位移的QR算法，可以减少迭代次数加速收敛，避免复数运算，在计算上是比较经济的。2算法设计方案2.1题目试用带双步位移的QR分解法求矩阵A二「勺］的全部特征值，并对其屮的每一个实特征LJioxio值求相应的特征向量。要求程序输出矩阵A经过拟上三介化后

4、所得到的矩阵屮心）；对矩阵进行QR分解方法结朿后所得的矩阵；矩阵A的全部特征值入（RJ）（i=1,2,.-JO）及相应于实特征值的特征向量。采用e型输出数据，并且至少显示12位有效数字。要求迭代的精度水平为^=10-,2o已知严(0.5,+0.2〃厂7ll.5cos(z+1.27)/=72.2算法2.2.1用带双步位移的QR方法求实矩阵全部特征值的算法（1）使用矩阵的拟上三角化的算法把矩阵ZRE化为拟上三角矩阵刃心）；给定精度水平£”0和迭代最大次数L。【矩阵A的拟上三角化的算法如下：记A⑴二A,并记右）=

5、「砧）］o对于r=l,2,n・2执行-/」nxn（a）若4?（心厂+2,r+3,・・・‘）全为零，则令A（r+1）=A（r）,转（e）；否则转（b）。(b)计算＜-=jX(4r))2»c「=-signS?『心(若牴,=0,则取cr=drhr=c；-cra^AV/=r+l(c)令色=(0,…,0,Q乩-c「V，…心)TeR”(d)说算pr=A(r)rur/hr,qr=A{r)ur/hr,-=於知/心,cor=qr-trur,A{r+l)=A(r)-a)ru^-urprr(e)继续】(2)记A=A(n~i}—

6、a?9令k=l,m=noLJ」nxn（3）如果疋爲",则得到A的一个特征值色鳥置m=n-l,转（4）；否则转（5）o（4）如果m=l,则得到A的一个特征值诰），转（11）；女隈m=0,则直接转（11）；女陳mA1,则转（3）。求二阶子阵的两个特征值$］和屯，即计算二次方程尸y++detDk=0的两个根5.和内。（6）如果m=2,则得到A的两个特征值©和转（11）;否则转（7）。（7）如果a^lm_2

7、得到A的全部特征值，否则转（9）0（9）记4=「券］（l

8、=drhr=c；-c「b；?（c）令你=（0,…,0,b—,咯…,町）re（d）计算vr=B^ur/hr,Br+1=Br-urv},pr=C^ur/hr,qr=Crur/hr,tr=p^ur/hr,cor=qr-trur,C®=—-卯；—U”（e）继续】（10）置k=k+l,转（3）。（IDA的全部特征值以计算完毕，停止计算。2.2.2列主元素Gauss消去法求特征值对应的特征向量的算法列主元索Gauss消去法