[精品]《数值分析》[1]

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1、课程设计报告课程设计题目:插值与曲线拟合学生姓名:专业:班级:指导教师:2011年11月26日题目:用熟悉的计算机语言编程上机完成1601年，德国天文学家开普勒发表了行星运行第三定律：T=C严，其中,T为行星绕太阳旋转一周的时间(单位：天)，x表示行星到太阳的平均距离(单位：百万公里)，并测得水星、金星、地球、火星的数据(x,T)分别为(58,88)、(108,225)、(150,365)、(228,687)。(1)用最小二乘法估计C的值；(2)用拉格朗FI插值求T与x的关系；(3)用函数处+c来对数据

2、点进行曲线拟合，并求出残差平方和Q.一、摘要在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合插值和曲线拟合的理论基础对数据组进行分析，在运行完程序后以及对运行结果做出各方面的分析和比较。二、设计目的用熟悉的计算机语言编程上机完成插值与曲线拟合。三、理论基础最小二乘法(乂称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能

3、量或最大化爛用最小二乘法来表达。对给定数据点{(Xi,Yi)}(i=O,l,…,m),在取定的函数类①中,求p(x)"，使误并的平方和ET最小，EA2=Z[p(Xi)-Yi]A2o从儿何意义上讲，就是寻求与给定点{(Xi,Yi)}(i=0丄…,m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。拉格朗日插值线性插值也叫两点插值，已知函数y=f(x)在给定互异点x0,xl上的值为yO=f(xO),yl=f(xl)线性插值就是构造

4、一个一次多项式Pl(x)=ax+b使它满足条件Pl(x0)=y0Pl(xl)=yl其儿何解释就是一条直线,通过已知点A(x0,yO),B(xl,yl)o线性插值计算方便、应用很广，但由于它是用宣线去代替曲线,因而一般要求[xO,xl]比较小，且/(x)在[x0,xl]±变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，用二次曲线去逼近复杂曲线的情形。三、运算结果及程序代码(I)用最小二乘法估计C的值XXi58108150228Ty

5、i88225365687T=Cx32则InT二ln(c)+l.51n(x)<4XlnTi、^Inc、"77、工*力工(hW)2<3/2)^lnT/lnXz,xi=19.1826InT/=22.32574*lnc+3/2工In力二》InTi求得c=0.1994代码如下:functionC=mypoly(X,Y,F)A二F*F';B二f*Y';C=AB;functionF二hanshu2(x)F(l,:)=exp(x):F(2,:)二x;F(3,:)二1;x=[58108150228];y二[882253

6、65687];F=polyfun(x);A=mypoly(x,y,F)输出结果A二0.1994即Co则T二0.1994x"(3/2)原始数据图像(2)用拉格朗日插值求T与X的关系(xO一xl)(xO一x2)(x0一x3)(X一xl)(x一x2)(x-x3)T(xO)(xl-xO)(xl-x2)(xl-x3)(x-xO)(x一x2)(x一x3)T(xl)(x2一xl)(x2一%0)(x2一x3)(x一xl)(x一xO)(x一x3)T(x2)+(x3一xl)(x3一兀2)(兀3一xO)(x一xl)(x一x2

7、)(x一xO)r(%3)6.8877e+007代入数据得到:T二—(x-108)(%-150)(%-228)5.6398^+007(x—58)(x-150)(—228)1,104k+008+1.0923^+009(兀—58)(兀—108)(兀—228)(%-58)(%-108)(%-150)(3)用函数y=a*(fx+b*x+c来对数据点进行曲线拟合，并求残茅平方和基函数取y0=l,yi=x,y2二e"xmatlab代码如下:functionC=hanshua(X,Y,F)A二F*F'；B二F*Y';C

8、=AB;functionF=hanshub(x)F(l,:)二exp(x);F(2,:)=x;F(3,:)=1;x二[58108150228];y二[88225365687];F=hanshub(x);A=hanshua(x,y,F)输出得到：A二0.00003.0024-90.2483则函数y=-90.2483x+3.0024原始数据拟合图像函数图像残差平方和Q：p二3.0024*x-90.2483;z二polyval(p,x);H=(