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1、拉格朗日插值法摘要：本篇综述是从插值法的原理入手，通过线性插值(一次插值)、抛物线插值(二次插值)的分析，从特殊到一般，从简单到复杂，引入拉格朗日插值多项式。关键词：插值法线性插值抛物插值拉格朗口插值一.引言在科学研究和其他许多实际问题屮，常常有函数不便于处理和计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需耍根据实验观测或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时函数虽有解析表达式，但是使用很不方便。因此，希望对这些问题中的函数建立i个简单的便于计算和处理的近似表达式，即用一个简单的函数來近似代替这些不变处理的函数。与用近似数代替准确数一样，这也是数值
2、计算方法屮最基本的概念和方法Z—，也就是插值法。二、插值法的基本原理1.插值法设函数y=f(x)定义在区间［a,b］上，兀。,兀］，…,£是［a,b］上取定的n+1个互异的节点,且在这些点处的函数值/(兀())/匕),…)为已知，即若存在一个丿的近似函数p(x),满足p(xi)二yi，二o,1,2,…，no(1),则称P(x)为f(0的插值函数。(1)式称为插值条件，fix)称为被插函数，冷,b称为插值区间，求PIx的方法就是插值法。插值函数P(x)在n+1个互异插值节点兀(7=0,1,2,…，刀)处与/(x)相等，在其他点/就用的值作为£(方的近似值。这一过
3、程称为插值，点/称为插值点。换句话说，插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用P(x)的值作为f3的近似值。不仅希望刀(x)能较好的逼近f拉格朗日插值法摘要：本篇综述是从插值法的原理入手，通过线性插值(一次插值)、抛物线插值(二次插值)的分析，从特殊到一般，从简单到复杂，引入拉格朗日插值多项式。关键词：插值法线性插值抛物插值拉格朗口插值一.引言在科学研究和其他许多实际问题屮，常常有函数不便于处理和计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需耍根据实验观测或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时函数虽有解析表达式，但是使用很不方便
4、。因此，希望对这些问题中的函数建立i个简单的便于计算和处理的近似表达式，即用一个简单的函数來近似代替这些不变处理的函数。与用近似数代替准确数一样，这也是数值计算方法屮最基本的概念和方法Z—，也就是插值法。二、插值法的基本原理1.插值法设函数y=f(x)定义在区间［a,b］上，兀。,兀］，…,£是［a,b］上取定的n+1个互异的节点,且在这些点处的函数值/(兀())/匕),…)为已知，即若存在一个丿的近似函数p(x),满足p(xi)二yi，二o,1,2,…，no(1),则称P(x)为f(0的插值函数。(1)式称为插值条件，fix)称为被插函数，冷,b称为插值区间，
5、求PIx的方法就是插值法。插值函数P(x)在n+1个互异插值节点兀(7=0,1,2,…，刀)处与/(x)相等，在其他点/就用的值作为£(方的近似值。这一过程称为插值，点/称为插值点。换句话说，插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用P(x)的值作为f3的近似值。不仅希望刀(x)能较好的逼近f(0,而且还希望它简单。由于代数多项式计算既简单又便于计算，这是我们选择用多项式作为插值函数的原因。我们数值分析课主要学习了代数多项式插值。2•插值法的几何意义从儿何上看，插值法就是求曲线y=p(x),使其通过给定的n+1个点(兀，)；),(，二0,1,2,
6、…，/?)。并用它近似曲线y=/(x),见下图2.1.3.唯一性n次代数插值问题的解存在且是唯一的。由插值条件pg二Yi(7=0,1,2,…，小。可得：%+巒()+••・+%兀o'oa°+a宀+…+比兀；科a0+a1xn+...+anxn=yn这是一个关于待定参数匕，a,・・・，a的n+1阶线性方程组。其系数行列式01，n为：1XoV(X()，X「…,Xn)JX，••••••1Xn这就是范德蒙行列式，因X严Xj,kX()2X1•••2Xnn…Xon…X1••••••n…Xnni—i二□□(兀-如)心17=0VH0,根据克莱姆法则，方程组的解存在且唯一。三、拉格朗日
7、插值的引入1.线性插值线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(方在两个互异的点x0,x,的值，y0=/(x0),y,=/(xj，现要求用线性函数p(x)=ax+b近似地代替f3O选择参数d和b,使p(xi)=/(X.)(i=0,1)称这样的线性函数P(兀)为f{x)的线性插值函数。线性插值的几何意义是：用通过点A(勺/(心))和B(%,/(%,))的直线近似地代替曲线y=/(x)o如图所示：由解析几何知道，这条直线可用点斜式表示为：P(%)=yo+21ZA(x_Xo)州一兀()将上式整理，可以改写成：P(x)=兰二^九+兰二直)［，将心皿代入可以验证P(
8、x)兀°一
