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1、趨••@毕达哥拉斯（二）令比达格拉斯学派引以为傲的应该是“毕达哥拉斯定理"的发现，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方——我国称为“勾股定理”•毕达哥拉斯定理可谓数学史上的第一块里程碑，它揭示了三角形边长的数量和形状的关系，后来成为解析几何的“距离公式"，并在高维空间的数学中有着重要作用，因此被人们嘗为数学大厦的“拱心石”.毕达哥拉斯定理已有4000多年的历史，它的证明方法多达400余种，这中间有著名画家达•芬奇的杰作，也有一位盲童的贡献，甚至爱因斯坦也和毕氏定理有过邂逅・有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕氏定理得内容，而未讲任何证
2、明•他的侄儿理解所涉及的关系，并感到基于一种理由可推导岀来这个小孩在三个星期中用其全部®的思维力最去证明这一定理.他专注到三角形的相似性（从直角三角形的一个顶点向斜边I作垂线）得到了一个证明.为此他久久地激动不已！这虽然仅涉及一个非常古老的著名定f理，他却经历了发现者的首次快乐.据说毕氏学派为了纪念这一发现，要杀掉一百头牛来庆贺•但是，他们却没有想到，0由毕达哥拉斯定理引发的关于无理数的发现，却使毕达哥拉斯学派陷入困境.
3、根据“毕达哥拉斯定理”，单位正方形对角线的长应为血，另滋血是什么性质的数呢？毕达—、函数1.两数的图彖及其变换①平移、
4、伸缩;②对称；③翻折：y=/(lxl),y=f(x)・1.函数的性质①奇偶性；②单调性：③周期性2.函数的最值①/⑴在闭区间[°,切内连续，则/⑴必有最大值与最小值.②fWMg(x)恒成立O/min(X)三(X)或[/(%)-g(x)〕min>°•1.求通项公式(1)常见形式即一般求解方法注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了.①%+1=Pan+q若P=l,则显然是以坷为首项，q为公差的等差数列；若则两边同时加上話变沁”+心=V+P-u显然是以5+丄为首项，卩为卩一1公比的等比数列;或Et
5、lan+l=pan+qRan=pan_x+q,两式相减得an^-an=p(an-an_l),有｛an+l-an]是首项为勺一纠,且公比为卩的等比数列,先求出匕⑷-匕，再求出①.②粘产也+/何，其中口0不是常数若〃则显然％=4+£/(i),n22；1=1③形如an+l=f(n)an的递归式,若则两边同时除以严，变形为斧斜佣，利用叠加法易得予匕+券?貝通项求法为«w=«r—=«i/(D/⑵/⑶…/⑺―1)522).(累积法)舛%・1④形如an+l=pa^(p>0,art>0)的递归式,两边取对数有lgaZJ+1=qgan+lgp,令b)t=
6、lgan,则叽+=qbn+lgp，仿①得bn,再求an•注：还有一些递推公式也可以川一般方法解决，但是其他情况我们一般使川其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”.••••⑵不动点法当f(x)=X时，兀的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法.典型例子：如=纟•2+bcq+d注：感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了.我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数Z类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了令丫=心迪，即/+(〃_町兀_方=(),
7、令此方程的两个根为旺，”c・x+d若X]=兀2，贝U有=——-——+P4屮一西an一西英中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解.注：如果有能力，可以将〃的表达式记住，a+d若旺工兀2,则有陥一舛=£坐厘・厲+1一兀2an-X2其中q"J以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解.注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=a-cx2⑶特征根法'特征根法是专用来求线性递推式的好方法.先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程.①％+2=叫+1+妙特征方程为x2=px+q令其两根为X],x2则其通项公式为A
8、、B用待定系数法求得.②5+3=也+2+叫+1+4特征方程为x3=靑+gx+广，令其三根为x},x2,x3则其通项公式为~=AX+B・x；+C£,A、B、C用待定系数法求得.通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，II竞赛中也不多见，我们仅需学握这两种就够了.1.数列求和求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算驻纯应付髙考也应该都掌握了，这里再介绍一个竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式.阿贝尔（Abel）恒等式有多种形
9、式，最一般的是：£也=（®•-仇+J+Snbn,其屮S&=工绞*=
10、*=
11、/=1一般的，掌握这一个就够了，当然还有更为般的形式，但是不容易记，也不常用.Abel恒等式就是给出了一个新的求和方法
