4刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式

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1、刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式题1(2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且.过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．图1(1)证明：中截面是梯形；(2)在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为.在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公

2、式来估算.已知，试判断与V的大小关系，并加以证明.笔者关心的是：该题中的即是怎么来的呢？这由下面推导的羨除体积公式立得.题2(2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..(1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角正切值；(2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是（S

3、上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图2题3(2002年高考北京卷理科第18题)如图3，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..(1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；(2)证明：EF//面ABCD(3)在估

4、测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图3笔者关心的是：高考题2,3中的（S上底面+4S中截面+S下底面）即是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积公式立得.《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图4所示中的五面体，其中，底面是

5、平行四边形.设，直线之间的距离是，直线与平面之间的距离是，则其体积.图4证明如图5所示.设点在面上的射影分别是点.图5我们把平面分成三块区域：区域I指该平面位于直线左侧的部分(不包括直线)，区域II指该平面夹在直线之间的部分(包括直线这两条直线)，区域III指该平面位于直线右侧的部分(不包括直线).应分六种情形来证明：(1)点均位于区域I；(2)点位于区域I，点位于区域II；(3)点位于区域I，点位于区域III；(4)点均位于区域II；(5)点位于区域II，点位于区域III；(6)点均位于区域III.

6、下面只对情形(5)予以证明：过点作于，交于；过点作于，交于，得，所以证毕！2.羨除羨除是图6所示中的五面体，其中，底面是梯形.设，直线之间的距离是，直线与平面之间的距离是，则其体积.图6证明用补形法可证.图7如图7所示，延长至，使，得刍甍，由刍甍的体积公式，得注羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形时(即图4所示中的时的情形)，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图8所示中的六面体，其中面面，底面、底面均是平行四边形.设，直线

7、之间的距离是，之间的距离是，面之间的距离是，则其体积.图8证明如图9所示，可得面与平行平面的交线平行,所以.连结.图9由刍甍的体积公式，得注刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段时(即图4所示中的时的情形)，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形.4.楔形四棱台楔形四棱台是图10所示中的六面体，其中面面，底面、底面均是梯形.设，面之间的距离是，之间的距离是，面之间的距离是，则其体积.图10图11证明如图11所示，可得.连结.由羨除的体积公式，得

8、注楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段时(即图4中的时的情形)，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.题4(1999年高考全国卷文科、理科第10题)如图12所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，，与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.B