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《2017版高考数学（理）人教A版（全国）一轮复习（课件+习题+讲义）：第8章 立体几何与空间向量 8.8》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围(0，][0，π]求法cosθ＝cosβ＝2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝
2、cosβ
3、＝.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
4、cosθ
5、＝
6、cos〈n1，n2〉
7、，二面
8、角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．4．利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则
9、AB
10、＝
11、
12、＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为
13、
14、＝.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )(4)两异面直
15、线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]．( √ )(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°.( √ )(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( × )1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析 以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建
16、立空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，M(，1,0)，D(0,1,0)，N(1,1，)，＝(，1，－1)，＝(1,0，)．cos〈，〉＝＝0，∴A1M与DN所成的角的大小是90°.2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°答案 A解析 设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝
17、cos〈m，n〉
18、＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选A.3．(教材改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面
19、边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．答案 解析 以A为原点，以，(AE⊥AB)，所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1中点，则A(0,0,0)，C1(1，，2)，D(1,0,2)，∴＝(1，，2)，＝(1,0,2)．∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角cos∠C1AD＝＝＝，又∵∠C1AD∈，∴∠C1AD＝.4．(教材改编)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为_______
20、_．答案 60°解析 ∵＝＋＋，∴
21、
22、＝＝＝＝2.∴·＝
23、
24、·
25、
26、·cos〈，〉＝－24.∴cos〈，〉＝－.而二面角与〈，〉互补，∴所求二面角为60°.5．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．答案 90°解析 不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝a，PF＝b，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos60°－a×bcos45°－a×bcos45°＋
27、a×b＝－－＋＝0，∴⊥，∴二面角α－AB－β的大小为90°.题型一 求异面直线所成的角例1 (2015·四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．答案 解析 建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝1，则＝，E，设M(0，y,1)(0≤y≤1)，则＝，∴cosθ＝＝.则cosθ＝＝·，令t＝1－y，则y＝1－t，∵0≤y≤1，∴0≤t≤1，那么cosθ＝·＝＝，令x＝，∵0≤t≤1，∴x≥1，那么cosθ
28、＝，又∵z＝9x2－8x＋4在[1，＋∞)上单调递增，∴x＝1时，zmin＝5，此时cosθ的
