经济数学基础讲义 第1章 函数

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1、第1章函数1.1函数概念1.1.1函数的定义同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S=πr2考虑半径r可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不

2、仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表存期六个月一年二年三年五年年利率(%)5.407.477.928.289.00它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1设x,y是两个变量，x的变域为D，如果存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x都有唯一的y值与x对应，则这个

3、对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并将由对应规则f所确定的x与y之间的对应关系，记为：，称x为自变量，y为因变量或函数值，D为定义域．集合称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．例1 求函数的定义域．　　解：，求函数的定义域就是使表达式有意义的．由对数函数的性质得到，即．由分式的性质得到，即，即．综合起来得出所求函数的定义域为．例2 设国际航空信件的邮资与重量的关系是求．解：用3替代，由第一个关系式表示，得到，同样可以得到．用20替代，由第二个关系式表示，得到1.1

4、.2有关函数的几点解释1.函数的表示法如何表示函数关系是需要我们不断研究和发现的．常用的方法有三种：一种是用一个数学公式来表示，叫做解析法；一种是用坐标系中的曲线反映两个变量之间的函数关系，叫做图示法；还有一种方法是用一个表格反映两个变量之间的函数关系，叫做表格法．一般经常使用的就是这三种方法．2.函数的记号在考虑一个问题的过程中，f表示一个确定的对应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f自始至终表示同样的对应关系．比如，它反映的就是这样一种对应关系：，等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进

5、行等式右端的运算．如：，又如：无论左端带入什么，都对它进行同样的运算.  1.1.3函数的基本性质下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性．当一个变量增加时另一个变量也跟着增加，这样的函数就叫做单调增加的函数．从图形上看这条曲线，曲线上的点x在增加的时候，它所对应的纵坐标y也在增加，这样的函数是单调增加的．单调减少是相反的，随着x的增加相对应的y在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样．如果函数当x在增加的时候，它所对应的y不是

6、增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性．例1判断函数f(x)＝x2当x>0时的单调性．分析：可以利用单调性的定义，证明对任意的x1>x2，有f(x1)>f(x2)．解：当x>0时，对任意的x2>0，有（当x1>x2>0时，在不等式x1>x2两端同乘以x1或x2，显然有，，由不等式的传递性就得到．）由定义可知f(x)＝x2当x>0时是单调增加的．一个函数的图形如果关于y轴对称，这样的函数就称为偶函数．从图形上来分析，曲线上任一点关于y轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数．从解

7、析式上看，如果有f(－x)＝f(x)，f(x)就叫做偶函数．一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数．从解析式上看，如果有f(－x)＝－f(x)，f(x)就叫做奇函数．例2判断下列函数的奇偶性：       （1）y＝x3－1　　　（2）y＝xcosx解：（1）取x＝1，－1，f(1)＝0，f(－1)＝－2，显然f(1)≠－f(－1)，由此可知y＝x3－1不是奇函数．又显然f(1)≠f(－1)，由此可知y＝x

8、3－1不是偶函数．（2）因为y＝x是奇函数，y＝cosx是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数．所以y＝xsinx是奇函数如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论怎样变化，都有－M≤f(x)≤M，这条曲线所反映的函数就是有界函数．如果存在一个正数T，对任意的自变量x，有f(x+T)＝f(x)，这样的函数就叫做周期函数．从图形上反映，这个函数在相隔为T的任意两点上函数值都是一样的．也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T为间隔划分区间，在每个区间上的函数