经济数学基础线性代数之第1章 行列式

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1、第一单元行列式的定义一、学习目标通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．二、内容讲解行列式行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。即称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列；一般用表示第行第列的元素，如上例中的元素，，，．再看一个算式称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素，又如，是一个四阶行列式

2、．而的代数余子式为代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．问题思考：元素的代数余子式是如何定义的？ 代数余子式由符号因子与元素的余子式构成，即三、例题讲解例题1：计算三阶行列式分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和，二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．解：四、课堂练习计算行列式利用阶行列式的定义选择答案．将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的

3、两项不用写出来了．=+五、课后作业1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式（1）               （2）    2．计算下列行列式（1）             （2）  3．设（1）由定义计算；（2）计算，即按第二行展开；（3）计算，即按第三行展开；（4）按第四行展开．1．（1）      （2）2．（1）20   （2）24 3．（1）1   （2）1   （3）1   （4）1第二单元行列式的性质一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的

4、值．二、内容讲解行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为．如,1．行列式的行、列交换，其值不变．如这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．2．行列式的两行交换，其值变号．如3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘．À+2Á

5、4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上       注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换．问题1：将n阶行列式的最后一行轮换到第一行，这两个行列式的值有什么关系？答案设n阶行列式，若将的最后一行轮换到第一行，得另一个n阶行列式，那么这两个行列式的值的关系为：=问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？答案按顺序将公因子提出.三、例题讲解例1计算行列式.分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）

6、展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．解：===我们将行列式中由左上角至右下角的对角线，称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式．由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积．同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．例2计算行列式分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列

7、式的值．解：        =0例3计算行列式分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．解：        Â+Ã=À+Á          =通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．三、课堂练习练习1若，求行列式利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求

8、其值．练习2计算行列式由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和，再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．五、课后作业1．计算下列行列式  （1）              （2）  （3） ()