问题转化策略在解题中的应用

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1、问题转化策略在解题中的应用■中学数学论文问题转化策略在解题中的应用廖宣超(赣州中学，江西赣州341000)摘要:问题转化也叫化归”化归是数学家特别善于使用的解题策略。所谓〃化归〃，就是说在解决问题时，将原问题进行变形，使之转化，直至最终归结为我们熟悉的,或易于解决的,或已经解决的(新)问题。关键词:复杂化成简单；陌生化成熟悉；抽象化成具体；含糊化成明朗中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-01-0061-01运用问题转化是(化归)思想解题,要有敏锐的观察能力，有较强的转化能力,才能将问

2、题转化为简单的、容易求解的问题。复杂化成简单例1、试求常数m的值，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x・3)垂直平分。分析：〃不能〃的反面是〃能〃，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，问题转化为〃抛物线y=x2上存在两点关于直线y=m(x・3)对称，求m的取值范围〃再求出m的取值集合的补集即为原问题的解。解：设抛物线y=x2上存在两点A(xl,y：L),B(x2,y2)关于直线y二m(x・3)对称，且AB的中点为M(x0zy0),依题意：有Xi二并(1)旳=^2(2)(1)—(2)得x-y2=(xj一兀2)(

3、兀】+衍)-3m),又点M必须在抛物线的内部.--^―-3m<(-)~=>(2m+1)(6/n2-2m+1)V022mazh<-4即当-'时,抛物线上存在两点关于直线y=ni{x-3)对称，原题要求所有弦都不能被直线y二山(兀-3)垂直平分，那么二陌生化成熟悉例2、设a0Y为任意的三角形的三个内角，对于任意实数xy乙求证：x2+y2+z2>2xycosa+2yzcosp+2zxcosy。分析:视〃x〃为主元，以不等式两边的差式构造二次函数f(x)二ax2+bx+c,再利用f(x)>0恒成立a0,A<0证明原不等式，通过构造

4、二次函数把陌生转化为熟悉。证明:设f(x)=x2・2(ycosa+zcosx)x+y2+z2-2yzcosp,贝!］有△二4(ycosa+zcosY)・4(y2+z2-2yzcosp)=4y2(cos2a-l)+8yz(cosxcosy+cosp)+4z2(cos2Y-1)二・4y2sin2a+8yz-4z2siny二・4(ysina・zsiny)2<0又因为函数图象是开口向上，所以f(x)>0z古攵x2+y2+z2>2xycosa+2yzcosp+2zxcosy三、抽象化成具体例3、已知函数/(“)=u2+au+6-2,

5、其中u=x+，若方x程/(u)=0至少有一个实根,wR,求a~+/>2的最小值。分析：把u2+au+b+u2・2二0看成直线，把a2+b2二R2看做圆，借助直线和圆的位置关系可解答。解：设直线I：ua+b+u2・2=0由题设知，此直线与圆a2+b2二R2(将azb作为变量)必有公共点，因此，圆心到直线的距离小于等于半径，则2_°WR、

6、u

7、m2,JU+1即R7M(豊2匸u+1一(zz+1)+2(-6‘(uM2)U+1令u+1二。则&5,所以S=r+—-6,5^tjW%t'所以S,-S2=yj(口).>0,所以S(O_=5(

8、5)=5屮294+了-6二了在fw[5,+oc)上是减函数。a所以5(t)_=S(5)=5+亍-6二所以当且仅当6±a=2“+6=；°即°二±:,6947o4=-~g-故当a二土亍b=-—H^,(a+b)max=y-四、含糊化成明朗例4、已知函数f(%)=pin%+(p_1)/+1(1)当p=1时/(%)W愿恒成立,求实数k的范(2)证明：ln(n+l)<1+四、含糊化成明朗例4、已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1(1)解：/W二hu：+l,所以f(x)=—>0恒成立V%>0,所以匝土丄,令人(％)=也凹得到X

9、X/『&)二二令2d)二二^>0XX所以虹勿在((JJ)上单调递增，在(1,+8)上单调递减所以Q旦严=](2)证明:由⑴知当k-1时，有/(尤)S当兀>1时Jx}

10、jh】吐L<丄即ln(/i+l)-hm<—nnnn所以In寻<4,InW……,ln—<—1122nn相力口得至ljIn~y~+In++In--<1+++12n2n-j2j3it?4-1i/23iTilIn—4-In—++In=In(—・丁12n12)=[n(n+1)n所以ln(H+l)<1+斗+手+……丄山23n参考文献:[

11、1]任勇•高考必备[M].中国青年岀版社,2008.[2]王俊杰.名师一号[M]•河北教育出版社,2012.