四点共圆(习题)

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1、圆内接四边形与四点共圆思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。若连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。（这三边的中垂线的交点就是圆心）。产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。基本模型：AO=BO=CO=DOA、B、C、D四点共圆（O为圆心）思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理：①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的对角

2、互补。基本模型：（或）A、B、C、D四点共圆②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。A、B、C、D四点共圆③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。产生原因：直径所对的圆周角是直角。A、B、C、D四点共圆④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆

3、内接四边形的外角等于内对角。基本模型：A、B、C、D四点共圆1.如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，且。证明：B,D,H,E四点共圆：证明：平分。2．如图，AC⊥BC，CE⊥AB，CF⊥AD.求证：∠AFE=∠B.3.已知在凸五边形中，，且，求证：．4、如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。(1)求证：△ACE≌△DCB；(2)请你判断△ACM与△

4、DPM的形状有何关系并说明理由；(3)求证：∠APC＝∠BPC。