浅析判别式法求函数值域高三数学赵丽雁

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1、浅析用判别式法求函数的值域吉林省永吉县第四中学赵丽雁判别式法是求函数值域的主要方法之一,是方程思想在函数问21ax+bx+ci题上的应用•对于形如y=7(⑦〃不全为零)或者可dx^+ex+f以转化为这种形式的二次有理型分式函数的值域，一般是要用判别式法求解的.它的理论依据是:可将已知函数的解析式变形，化为(a-dy)x2+@—ey)x+c-fy=O,看作是以y为参数的关于X的二次方程，又由于函数的定义域是非空数集，则方程一定有实数解,必须有判别式△鼻0成立，从而求得函数的值域.但在用判别式法求值域时经常岀错，

2、因为，别式法求函数值域的适用范围虽然广泛，但却又是有条件制约的.因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件元二次方程，所以应注意对二次项系数进行分类讨论，否则会产生错误.(1)当a-dy=0时，研究上述关于兀的方程是否有解；(2)当d-心工0时，利用IO解出y的取值范圉；二、当定义域只由dx2f^0限制时，在注意二次项系数的同时对A=O时是否符合要求要进行检验.—4-X+3rr/士IIA例1、求函数y=的值域2x-x-解析：函数定义域为｛_¥XH1月*｝,函数解析式化为(2y-

3、1)x2—(歹—4)x—3=0,177当时，方程为上兀_上=0即X=l,由已知函数定义域知222兀H1,所以，此时方程无解；当尸*时,A=O—4)2+4(2y—l)(y+3)=9b+12y+4=(3y+2)2n0所以有ywR月.y工*而当y=-

4、时，方程为x2-2x+i=o即X=1所以12所以函数的值域为非2工+7x+3例2、求函数尸。°y的值域；厂-2x-15x5且无H-3解析：函数的定义域为｛解析式变形得(2-y)/+(7+2yk+3+15y=0当丁=2时，方程为llx+33=0,所以，x二-3,由定义域

5、知xh—3所以，y^-2当丁工―2时，由△#7昇)一4y(-2>(得(8y—5尸>0,所以ywR595当y=-时，方程为X2+6x+9=0即"-3,由定义域知yHg所以函数的值域为p『工沖以上两个问题中，判别式人=0时的兀值，恰好不在函数的定义域内，所以要去掉此时的y值.特别的，(1)当函数的定义域为全体实数时，无需验证.x~—x+3例3、求函数的值域.X-x+1解析：函数定义域为解析式变形为(歹-1)兀2-(y-l)x+丁-3=0当歹=1时，方程无解；当円时，△=(?—l)2_4(y_l)(y_3)n0,解

6、得1分斗又『工1所以函数值域为(i，¥.(2)A>0恒成立时，无需检验；例4、求函数y=+4x—7—2无—3的值域解析：函数的定义域为{兀卜工1且兀工3}解析式化为0-2)兀2—(2y+4)x-3y+7=0当y=2时，方成为8x-13=0,方程有解^=~；当歹工2时,A=(44-2y)2+4(y-2)(3y-7)=16/-36y+72>0恒成立,即夕工2时，方程总有解，所以函数值域为心另外，当定义域有dx2+ex+f^0以外的限制时，如果要用判别式法，通常要结合韦达定理，或者一元二次方程根的分布的讨论方法，问

7、题比较复杂，不做赘述。2ax+bx+c当然形如『=(其中/+/工0)的函数如果其dx「+ex+j分子与分母中含有公因式可以用下面的处理方法：(1)首先将分子和分母因式分解，找出公因式；(2)约去公因式，并注明公因式不等于零时兀的取值；(3)利用“分离常数法”求出约去公因式的函数的值域；(4)将公因式等于零的兀的值代入约去公因式的函数解析式,求出相应的y值，并在值域中排除.