数学建模讲座之一----什么是数学建模

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1、2、什么是数学建模4、建模示例2如何预报人口的增长什么是数学模型3、建模示例1商人们怎样安全过河1、数学建模课程的内容安排5、数学建模的方法和步骤7/23/2021数学建模数学建模课程的内容安排（48~64学时）基本部分建立数学模型（从现实到模型，建模示例，建模步骤）初等数学方法建模（代数、几何、初等概率方法）量纲分析法建模微分法建模（静态优化模型）微分方程模型（动态模型，常微部分）差分方程模型层次分析法建模随机模型（概率分布方法建模）7/23/2021数学建模玩具、照片…~实物模型风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、

2、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。我们常见的模型什么是数学模型7/23/2021数学建模你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小时20公里7/23/2021数学建模航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20公里）。7/23/2021数学建模数学模型(MathematicalModel)

3、和数学建模（MathematicalModeling)数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模：建立数学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检验）。7/23/2021数学建模数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术如虎添翼知识经济7/23/2021数学建模建模示例1商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从河小船(至多2人)随从们密约,在河的任一岸,一旦

4、随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河7/23/2021数学建模模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u,v

5、)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题7/23/2021数学建模模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策D~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态SS={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=

6、1,2}D={(u,v)u+v=1,2}7/23/2021数学建模背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年1908193319531964198219901995人口(亿)34.76710.111.312研究人口变化规律控制人口过快增长建模示例2如何预报人口的增长7/23/2021数学建模指数增长模型常用的计算公式马尔萨斯（1788--1834）提出的指数增长模型(1798)x(t)~时刻t人口r~人口(相对)增长率(常数)今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加人口按指数规律无限增长

7、7/23/2021数学建模指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)7/23/2021数学建模阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假定：r~固有增长率(