概率与统计案例分析

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1、概率与统计例题分析例1．设有一批产品共100件，其中5件次品，先从中任意取50件，问：(1)无次品的概率是多少？(2)恰有两件次品的概率是多少？(3)至少有两件次品的概率是多少？分析：分别求出无次品的结果种数；恰有两件次品的结果种数；至少有两件次品的结果种数，再除以任意取50件的结果种数．解设A＝{无次品}，B＝{恰有两个次品}，C＝{至少有两个次品}（1）P（A）＝（2）P（B）＝（3）P（C）＝例2．某人有5把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，逐把试开，问：(1)恰好第三次打开房门的概率是多少？(2)三次内打开房门的概率是多少？(3)如果5把内有2把房门钥匙，三次

2、内打开的概率是多少？分析：第一次、第二次都没有打开房门，第三次打开房门，相当于从5把钥匙种取三把排队，第三把恰好是打开房门的那一把．三次内打开房门即第一次打开或第一次没有打开，第二次打开或第二次没有打开，第一次打开．解设A＝{恰好第三次打开房门}，B＝{三次内打开房门}，C＝{如果5把内有2把房门钥匙，三次内打开房门}．（1）P（A）＝；或从5把钥匙中取3把开门的结果有种，恰好第三把能打开房门的结果有种．∴P（A）＝＝；或看作第一次没有打开，第二次也没有打开，第三次打开，这三个事件是相互独立的，故恰好第三次打开房门的概率是P（A）＝××＝（2）每一次打开房门的是互

3、斥的，概率都是，∴P（B）＝＋＋＝．或P（B）＝＝也可以用相互独立事件来处理：P（B）＝＋×＋××＝例2．某人有5把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，逐把试开，问：(1)恰好第三次打开房门的概率是多少？(2)三次内打开房门的概率是多少？(3)如果5把内有2把房门钥匙，三次内打开的概率是多少？解:例2．某人有5把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，逐把试开，问：(1)恰好第三次打开房门的概率是多少？(2)三次内打开房门的概率是多少？(3)如果5把内有2把房门钥匙，三次内打开的概率是多少？解:（3）如果5把内有2把房门钥匙，三次内打开房门的情况是前3把钥匙中恰有2把能打开房门或

4、前3把钥匙中恰有1把能打开房门P（C）＝＝或:例3．甲乙两个人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)2人都击中目标的的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)其中至少有一人击中目标的概率．分析：两个人射击，每个人击中目标是相互独立的．解(1)A＝{甲击中目标}，B＝{乙击中目标}，显然，事件A与B是相互独立的．又A·B＝{甲乙都击中目标}，故P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36．答：2人都击中目标的的概率是0.36．例3．甲乙两个人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)2人都击中目标的的概

5、率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)其中至少有一人击中目标的概率．解(2)＝{甲没有击中目标}，＝{乙没有击中目标}，则A与B、A与、与B、与是相互独立的．又{甲乙恰有一人击中目标}＝A·＋·B．显然，A·与·B不可能同时发生，即A·与·B互斥．∴P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)·P()＋P(B)·P()＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48．答：其中恰有一人击中目标的概率是0.48．例3．甲乙两个人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)2人都击中目标的的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；

6、(3)其中至少有一人击中目标的概率．解(3)P(至少有一人击中目标)＝P(A·B)＋P(A·＋·B)＝0.36＋0.48＝0.84．或P＝1－P(·)＝1－0.16＝0.84．答：其中至少有一人击中目标的概率为0.84．说明在计算两个基本事件和的概率时，一定要判断这两个基本事件是否是互斥的．例4．有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7．在两批种子中各任取一粒．事件A＝从甲批种子中取出一粒能发芽的种子，B＝从乙批种子中取出一粒能发芽的种子．问：(1)事件A与事件B是否互斥？是否独立？(2)两粒种子都能发芽的概率？(3)至少有一粒种子能发芽的概率？(4)恰好有一粒

7、种子能发芽的概率？分析：两粒种子同时发芽是指事件A与B同时发生，也即为事件A与B的积：A·B．两粒种子中至少有一粒能发芽是指事件A与B中至少有一个发生，也即事件A与B的和：A＋B．解(1)事件A与B不互斥，是相互独立事件．(2)∵A·B＝两粒种子都能发芽，∴P(A·B)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7＝0.56．答：两粒种子都能发芽的概率是0.56．(3)∵A＋B＝至少有一粒种子能发芽，∴方法一P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A·B)＝0.8＋0.7－0.56＝0.94．答：至少有一粒种子能发芽的概率为0.94．方法二P(A＋B)＝1－P()＝1－P(·)

8、＝1－P(