对f(x+a)=±f(a-x)_、f(x+a)=±f(x-a)_型的对称性、周期性的研究.整理后

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1、对、型及奇偶型函数的对称性、周期性的重要结论探究　新课程理念很重要的一个思想方法就是类比推理的应用。学生在高考中经常遇到与对称性、周期性有关的试题，却无从下手。本人就、等式及与奇偶函数有关的对称性、周期性进行了一系列的探究，归纳总结出了比较重要的结论，并介绍了记忆方法，希望对高中学生有所帮助。一、型1、型重要结论结论1：，关于直线对称。（由图像易得，证明略）对称轴的求法：结论2：，，为偶函数。【证明】：由结论1得关于直线对称，∴关于轴对称，即为偶函数。结论3（拓展）：与关于对称。（读者自己证明）对称轴的求法：令，所以。2、［］型重

2、要结论结论4：，关于点对称；对称中心点的坐标的求法：；【证明】：∵由结论1得关于对称；又∵关于轴对称，∴由函数图像易得关于点对称。结论5：，关于对称。【证明】：由结论４对称中心算法，可得结论５成立。结论6：，为奇函数。【证明】：∵由结论1可得关于直线对称。第6页共6页又∵关于轴对称，∴由函数图像易得关于关于点对称。∴关于点点对称。即是奇函数。结论7（拓展）：与关于对称。（读者自己证明）3、记忆方法：括号内式子之和能消去关于直线（或点）对称。①、关于直线对称；②、关于点对称；二、型1、重要结论结论8：，，若，则是周期函数。周期的求法

3、：反复用去替换式中的，直至出现为止。①、证明，，若，则是以的周期函数。【证明】：∵∴，所以是周期函数，且周期。②、证明，，若，则是以的周期函数。【证明】：用替代式中的得∴∴∴，所以是周期函数，且周期。结论9：，，若，则是周期函数，且。【证明】：用替代式中的得∴所以是周期函数，且。结论10：，，若则，是周期函数，且。【证明】：用替代式中的得第6页共6页∴（ⅰ）又用替代（ⅰ）式中的得∴所以是周期函数，且。2、记忆方法：括号内式子之和不能消去是周期函数。①、的周期是；②、的周期是。三、是奇（偶）函数型1、是偶函数结论11：若是偶函数且又

4、关于对称，则为周期函数，.【证明】：由是偶函数得由关于对称根据结论1得（ⅱ）用替换（ⅱ）式中的得，∴为周期函数，且结论12：若是偶函数且又关于对称，则为周期函数，.【证明】：由是偶函数得由关于对称，根据结论4得，∴（ⅲ）用替代（ⅲ）式中得所以是周期函数，且周期。结论13（类推）：，，若关于且对称，则为周期函数，；【证明】：由关于且对称，根据结论1得，第6页共6页∴（ⅳ）用替换（ⅳ）式中的得即所以是周期函数，且周期。结论14（类推）：，，若关于直线对称，且又关于点对称，则为周期函数，；【证明】：由结论1，结论4得，∴由结论8得的周期

5、;的周期即所以是周期函数，且周期。2、是奇函数结论15：若是奇函数且关于对称，则为周期函数，。(读者自己证明)结论16：若是奇函数且关于对称，则为周期函数，；(读者自己证明)结论17（类推）：若，，关于且对称，则为周期函数，；(读者自己证明)结论18（类推）：若，，关于且对称，则为周期函数，；(读者自己证明)3、记忆方法：约定：只有对称轴（或只有对称中心）称作具有同类双对称性；既有对称轴又有对称中心称作具有异类双对称性。属于同类双对称周期为两者间距离之2倍；属于异类双对称周期为两者间距离之4倍；四、应用1、函数的定义域为R，若与都

6、是奇函数，则()(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数第6页共6页【答案】：D【解析】：与都是奇函数∴关于点、对称，根据结论17是周期的周期函数，∵是奇函数，∴是奇函数，故选D。2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则（A）.（B）.（C）.（D）.【答案】：D【解析】：∵由结论8可得，是以周期的周期函数，∴,,又∵是定义在R上的奇函数关于对称，由图可得：，即,故选D。3、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）。A．　B．　　C．　　D．【答案】C【解析】的周期为2，如右图。

7、，故选C。4已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则=。【答案】：－8【解析】：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,关于直线对称且,∵，由结论8可知是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.第6页共6页如图所示,那么方程在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以。第6页共6页