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1、第五章非平稳序列的随机分析本章结构差分运算ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型5.1差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度
2、的差分运算，通常可以较好地提取周期信息例5.1【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息差分后序列时序图一阶差分二阶差分例5.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分过差分足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性
3、信息但过度的差分会造成有用信息的浪费例5.4假设序列如下考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大5.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalk
4、model随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5.5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性
5、检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344拟合ARMA模型偏自相关图建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理Green函数递推公式预测值例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为且求的95％的置信区间预测值等价形式计算预测值计算置信区间G
6、reen函数值方差95％置信区间例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺
7、，可以简记为例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模一阶差分自相关图偏自相关图建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著季节模型简单季节模型乘积季节模型简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下白噪声检验延迟阶数统计量P值64
8、3.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估
