高考大题专项练3高考中的数列

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1、高考大题专项练3　高考中的数列　高考大题专项练第6页　 1.(2015大连一模)等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为12,满足S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6.(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解:(1)设{an}的公差为d,所以3a1+3d=15,a1+2b1=3,a1+d+2b1=6,解得a1=2,d=3,b1=12,所以an=3n-1,bn=12n.(2)由(1)知Tn=212+5122+8123+…+(3n-4)·

2、12n-1+(3n-1)12n,①①12得12Tn=2122+5123+…+(3n-4)12n+(3n-1)12n+1,②①-②得12Tn=212+3122+123+…+12n-(3n-1)·12n+1=1+3141-12n-11-12-(3n-1)·12n+1,整理得Tn=-(3n+5)12n+5.〚导学号92950935〛2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1;数列{bn}满足bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N+),b1=1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列anb

3、n的前n项和Tn.解:(1)由Sn=2an-1,得S1=a1=2a1-1,故a1=1.又Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n≥2),两式相减,得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1.故an=2an-1,n≥2.所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.故an=1·2n-1=2n-1.由bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N+),得1bn-1bn-1=1.又b1=1,∴数列1bn是首项为1,公差为1的等差数列.∴1bn=1+(n-1)·1=n.∴bn=1n.(2)由(1)

4、得anbn=n·2n-1.∴Tn=1·20+2·21+…+n·2n-1,∴2Tn=1·21+2·22+…+n·2n.两式相减,得-Tn=1+21+…+2n-1-n·2n=1-2n1-2-n·2n=-1+2n-n·2n.∴Tn=(n-1)·2n+1.〚导学号92950936〛3.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+Sn-1(n≥2).(1)求证:{Sn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)记数列1anan+1的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,不等式4Tn

5、a的取值范围.(1)证明:因为an=Sn+Sn-1,所以Sn-Sn-1=Sn+Sn-1,即Sn-Sn-1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公差为1的等差数列,得Sn=n,所以an=Sn+Sn-1=n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以an=2n-1.(2)解:因为1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以Tn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121-12n+1.∴Tn<12.要使不等式4Tn

6、解得a≤-1或a≥2,故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).〚导学号92950937〛4.已知数列{an}是公比为12的等比数列,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列,其前n项和Tn满足Tn=nλ·bn+1(λ为常数,且λ≠1),其中b1=8.(1)求数列{an}的通项公式及λ的值;(2)比较1T1+1T2+1T3+…+1Tn与12Sn的大小.解:(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1),即1-12a12=a114a1+1,解得a1=12,∴an=12n.设{

7、bn}的公差为d,又T1=λb2,T2=2λb3,即8=λ(8+d),16+d=2λ(8+2d),解得λ=12,d=8或λ=1,d=0(舍),∴λ=12.(2)由(1)知Sn=1-12n,∴12Sn=12-12n+1≥14.①由(1)知bn=8n,又Tn=nλ·bn+1,∴Tn=4n2+4n,1Tn=14n(n+1)=141n-1n+1,∴1T1+1T2+…+1Tn=141-12+12-13+…+1n-1n+1=141-1n+1<14.②由①②可知1T1+1T2+…+1Tn<12Sn.〚导学号92950938〛5.已

8、知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-bn2(n∈N+).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记cn=anbn,求证:cn+1≤cn;(3)求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)因为a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{an}的公差