2019年高考数学一轮复习 高考大题专项练3 高考中的数列

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1、高考大题专项练三　高考中的数列1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.2.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,Sn+1=3Sn+3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.3.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)设双曲线x2

2、-=1的离心率为en,且e2=2,求+…+.4.已知数列{an}的首项a1=,an+1=(n∈N+).(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和Sn.5.(2017江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{an}是等差数列.6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a

3、3=3.(1)求an;(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn>(n∈N+).7.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,不等式4Tn

4、参考答案高考大题专项练三　高考中的数列1.解(1)依题意得,解得故an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.(2)由题意可知=3n-1,则bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1.故Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②①-②得-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,因此,Tn=n·3n.2.解(1)(方法一)∵Sn+1=3Sn+3,∴Sn+1+=3.∴Sn+3n-

5、1=×3n-1=.∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1==3n,a1也适合.∴an=3n.(方法二)由Sn+1=3Sn+3(n∈N+),可知当n≥2时,Sn=3Sn-1+3,两式相减,得an+1=3an(n≥2).又a1=3,代入Sn+1=3Sn+3得a2=9,故an=3n.(2)∵bn=,∴Tn=,①∴Tn=,②由①-②,得Tn=,解得Tn=.3.解(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n≥1都成立.所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数

6、列.从而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1.(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-=1的离心率en=.由e2==2,解得q=.所以+…+=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]=n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+=n+(3n-1).4.(1)证明∵an+1=,∴.∴-1=.又a1=,∴-1=.∴数列是以为首项,以为公比的等比数列.(2)解由(1)知-1=,则+1.故+n.设Tn=+…+,①则Tn=+…+,②由①-②得Tn=+…+=1-,∴Tn=

7、2-.又1+2+3+…+n=,∴数列的前n项和Sn=2-.5.证明(1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列{an}是“P(3)数列”.(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①当n≥4时,an-