阅读说明材料 反函数趣谈(0002)

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1、阅读材料反函数趣谈x在指数函数y2中，x为自变量，y为因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，同学们思考一下，x是不是y的函数？x在指数函数y2中，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行x线，与y2的图象有且只有一个交点．另一方面，根据指数与x对数的关系，由指数式y2可得到对数式xylog．这样，对2于任意一个y(0，)，通过式子xylog，在R中都有唯一2确定的x和它对应．此时，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说xxylog(y(0，))是函数y2()xR的反函数．注意到，2在函数xylog中，y是自变量，x是函数，但是习惯上，我们2通常用x表

2、示自变量，y表示函数，因此我们对调函数xylog中2的字母，把它写成yxlog，这样，对数函数yxlog(x(0，))22x是指数函数y2()xR的反函数．由前面的讨论可知，指数函x数y2()xR与对数函数yxlog(x(0，))是互为反函数2的．类似地，我们可以得到对数函数ylogxa(0，且a1)和ax指数函数ya(aa0，且1)互为反函数．在上面的讨论过程中我们发现，过y轴正半轴上任意一点作xx轴的平行线，与y2的图象有且只有一个交点，这就保证了对于任意一个y(0，)，都有唯一确定的xylog和它对应，进2而才能得到反函数．这就启发我

3、们，不是任意的函数都存在反函数的，只有一一对应的函数才存在反函数．一一对应的函数是指值域中的每一个元素y只有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系．1清楚了反函数存在的条件后，我们接下来讨论反函数的性质．x通过画出指数函数y2与对数函数yxlog的图象后，我2们发现它们是关于直线y=x对称的，也就是互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x对称的．这与我们前面的分析也是一致的，原函数与反函数是定义域、值域互换，对应法则互逆．yy=2xy=xy=log2xOx研究反函数的性质离不开函数的单调性和奇偶性，下面的结

4、论同学们可以自己尝试证明．一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的，也就是说如果原函数在某个区间上是单调递增（减）的，那么它的反函数在相应区间上也是单调递增（减）的．关于奇偶性，如果一个奇函数存在反函数，那么它的反函数也是奇函数；一般情况下偶函数是不存在反函数的，例外情况是f(x)=C（C为常数）．学习了反函数这种重要的工具，它可以帮助我们解决很多问题．当原函数的性质不容易研究时，我们可以考虑研究它的反函数．比如当直接求原函数的值域比较困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，来看一道具体的例题．x10【例】已知函数y，求它的值域．x110x10xx解析：先计算它的反

5、函数，由y得到y(110)10，x110xyy解得10，反函数即为xlg，反函数的定义域为原函1y1yy数的值域，也就是0，原函数的值域即为(01)，．1y2练习题1.下列函数中，有反函数的是（）2A．yx2xB．yx

6、

7、21C．yxlgD．yx1x2.函数y21的反函数为_____________．x123.已知函数y，求它的值域．x123【参考答案】1.D2.yxlog(1)23.(-1，1)4