第一讲 不等关系及不等式和一元二次不等式及其解法

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1、不等关系与不等式实际生活中长短大小轻重高矮一.问题情境横看成岭侧成峰远近高低各不同雷声大，雨点小捡了芝麻，丢了西瓜道高一尺，魔高一丈三个臭皮匠，抵过一个诸葛亮你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗?我们生活中的到处都有不等关系说一说在数学中我们如何表示不等关系?用“﹥”或“﹤”填空:(2)5+2____-3+25-2____-3-2-4+2____-2+2-4-2____-2-25____-3-4____-21、天气预报说：明天的最高气温为13℃，最低气温为7℃，则温度t必须满足什么？2、a是一个非负实数。7℃≤t≤13℃a≥0（a∈R）

2、3.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t℃，那么t应满足怎样的关系式？4.5t<280004.这是某酸奶的质量检查规定脂肪含量（f）蛋白质含量（p）不少于2.5％不少于2.3％用数学关系来反映就是：5.设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与

3、AB

4、的大小关系怎样表示？d≤

5、AB

6、ABd必修5第74页问题：如果19人去该如何购票？19人的普通票花费190元若选择20人的团体票花费160元是否选择团体票就一定实惠？那么满足什么样的不等关系时，消费者能得到更大实惠？例1.博物馆的门票每

7、张10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那在不足20人时，选择怎样的购票策略？（不求解）数学应用例1.博物馆的门票每张10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那在不足20人时，选择怎样的购票策略？（不求解）解：设x人(x<20)买20人的团体票比普通票便宜，则有8×20≤10x（这是一次不等式问题）数学应用数学应用例.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若每本定价x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则

8、销售量减少：X-2.50.1×0.2万本因此，销售总收入为：X-2.50.1×0.28-X万元数学应用例.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若每本提价0.1元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？∴用不等式表示为：X-2.50.1×0.28-X≥20化简得：（这是一个一元二次不等式问题）例、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格.按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所

9、有不等关系的不等式呢？(3)截得两种钢管的数量都不能为负.(1)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍；(2)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；例、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格.按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？（这是一个一元一次不等式组问题）建构数学实际问题：不等关系数学问题：不等式抽象概括刻画什么是不等式（组）在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则右边点对应的实数比左边点对应的实

10、数大,而且点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：（1）点A和点B重合；（2）点A在点B的右侧；（3）点A在点B的左侧.在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，ab；如果a>b，则a－b为正数；如果a－b是负数，则a

11、论可以写成：作差→变形→判断符号→确定大小.作差比较法其一般步骤是:例．比较x2－x与x－2的大小.解：(x2－x)－(x－2)=因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.x2－2x+2=(x－1)2+1，探究：不等式的基本性质思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质。a＞bb＜a（对称性）性质1：如果a>b，那么bb．(对称性)即：a>bbb．证明:即：a>b⇔b

12、丙高，那么甲的身材与丙的有什么大小关系？性质2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)即：a>b，b>ca>c．说明：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形．