2020版高考数学第四章三角函数、解三角形4第4讲简单的三角恒等变换新题培优练文新人教A版

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1、第4讲简单的三角恒等变换[基础题组练]1．(2019·广州市调研测试)已知α为锐角，cosα＝，则tan＝(　　)A．　　　　　　　　　　　B．3C．－D．－3解析：选A.因为α是锐角，cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝2，所以tan＝＝，故选A.2．已知sin2α＝，则cos2＝(　　)A.B.C.D.解析：选B.cos2＝＝＝.故选B.3．(2019·湖北新联考模拟)＝(　　)A．B．C．D．1解析：选A.＝＝＝＝.故选A.4．已知cos＝－，则sin－cosα＝(　　)A．±B．－C．D．±解析：选D.sin－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝sin，

2、而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cosα＝±，故选D.5．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．解析：法一：因为cos2θ＝，所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，因为cos2θ＝，sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝.法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.答案：6．已知＝，tan(α－β)＝，则tanβ＝________．解析：因为＝，所以＝，＝1，所以tanα＝1，又因为tan(α－β)＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.答案：7．已知t

3、anα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.8．(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝

4、，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.[综合题组练]1．已知α，β均为锐角，(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，则α＋β的值为(　　)A．B．C．D．解析：选B.由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2得tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝.2．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则(　　)A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝ta

5、n(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)解析：选A.法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin2α＝2sin2β，所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.法二：因为sin2α＝2sin2β

6、，所以＝＝＝＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝________．解析：原式＝·＋·－cos2αcos2β＝＋－cos2αcos2β＝＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.答案：4．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________．解析：因为tanβ＝，所以tanβ＝＝tan.又α，β均为锐角，所以β＝－α，即α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan＝1.答案：15．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，

7、使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈.因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.因为θ∈，所以当sin2θ