线代第四章之实对称矩阵

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1、第三节特殊矩阵对称矩阵如果方阵A满足就称A为对称矩阵例如方阵A为对称矩阵矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等定理2实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。设A是对称矩阵实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值必为实数。证明定理3设A是n阶对称矩阵，是A的特征方程的重根，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量。定理设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向量。实对称矩阵的对角化正交变换Schimidt正交化过程单位化得例用正

2、交变换把下列对称矩阵对角化解（１）求方阵Ａ的特征值由得特征值（２）求特征向量对于对于解方程组得一个基础解系解方程组得一个基础解系（３）将特征向量组正交化、单位化令正交化单位化（４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵令则有求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：1、求矩阵A的特征值2、求特征向量3、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵练习设实对称矩阵解A的特征多项式为A的特征值为求正交矩阵P,使为对角矩阵.当解方程组即得到两个线性无关的特征向量对于得到特征向量取是矩阵A的正交特征向量组单位化令则有定义设A

3、为n阶方阵,若则称A为反对称矩阵性质(1)实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.(2)奇数阶反对称阵对应的行列式为0.(3)非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.反对称矩阵定义设A为n阶方阵,若满足则称A为幂等矩阵.性质(1)幂等矩阵的特征值为0或1.(2)幂等矩阵一定相似于形如的对称阵.幂等矩阵幂零矩阵定义设A为n阶方阵,若满足(ｍ为正整数），则称Ａ为幂零矩阵．性质(1)幂零矩阵的特征值为0.(２)非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.作业P101-P102习题四4.94.11(1)4.124.17预习第五章第一、二节