随机信号处理教程 第2章 随机过程

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1、电子信息技术导论——献给进入信息领域学习的你！随机信号处理教程第1章概率论基础第2章随机过程第3章随机过程的功率谱密度第4章随机信号通过线性系统第5章窄带系统和窄带随机信号第6章随机信号通过非线性系统第7章马尔可夫过程第2章随机过程1234756随机过程的概念随机过程的统计描述平稳随机过程随机过程的各态历经性平稳随机过程自相关函数的性质随机过程的联合概率分布和互相关函数正态随机过程2.1随机过程的概念定义1设随机试验E的样本空间为S={x}，如果对于每一个样本，总可以依某种规则确定一时间t的函数与之对应。于是，对于所有的来说，就得到一族时间t的函数，我们称此族时

2、间t的函数为随机过程。定义2如果对于每一固定的时刻，都是随机变量，那么，则称是随机过程。(T是时间t的变化范围)2.1随机过程的概念随机过程是一族时间函数随机过程是一个确知的时间函数随机过程是一个随机变量随机过程是一个确定值随机过程的四种含义T和x都是变量T是变量X是固定值T是固定值X是变量T和x都是固定值2.1随机过程的概念1234连续型随机过程按照时间和状态是连续还是离散来分类连续随机序列离散型随机过程离散随机序列2.2随机过程的统计描述一维分布函数和概率密度函数对于某一个固定时刻，随机过程在t时刻的状态是一个随机变量，随机事件的概率为它是t和x的二元函数，

3、记为称为随机过程的一维分布函数。如果存在非负二元函数，使成立，则称为随机过程的一维概率密度函数。2.2随机过程的统计描述为了描述随机过程在任意两个时刻和的状态之间的内在联系，可以引入二维随机变量的分布函数，它是二随机事件和同时出现的概率，即称为随机过程的二维分布函数同样，如果存在非负函数，使成立，则称为随机过程X(t)的二维概率密度函数。且2.2随机过程的统计描述自协方差函数数学期望均方值方差自相关函数随机过程的数字特征2.2随机过程的统计描述一维特征函数二维特征函数n维特征函数2.2随机过程的统计描述对于某一固定时刻t，随机变量的特征函数为(2.2.16)称为

4、随机过程的一维特征函数，它是u和t的函数。为随机过程的一维概率密度函数，它与构成一对傅立叶变换，有(2.2.17)将式(2.1.16)的两端对变量u求n阶偏导数，得(2.2.18)所以，随机过程的n阶原点(2.2.19)因此，利用式(2.2.19)可以方便地求得随机过程的数学期望和均方值。2.3平稳随机过程如果对于任意n个时刻t1，、t2，…，tn和任意实数ε，随机过程的n维分布函数(或概率密度函数)满足关系或则称随机过程为严平稳过程，或称窄平稳过程或狭义平稳过程。也就是说，如果随机过程的n维分布函数(或n维概率密度函数)不随时间起点选择不同而改变，则这种随机过

5、程称为严平稳过程，2.3平稳随机过程严平稳过程的n维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在其一、二维概率密度及数字特征上具有的性质严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关。严平稳随机过程的二维概率密度函数只与t1，t2的时间间隔有关，而与时间起点无关。严平稳随机过程ext2.3平稳随机过程X(t)为宽平稳过程或广义平稳过程若随机过程X(t)满足如下条件：2.3平稳随机过程—般来说，若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中不变化，那么此过程就可以认为是平稳的。在电子信息技术的实际应用中所遇到的随机过程，差不多都可以认为是平稳随机过程。例如，一个工作在稳定状态下

6、的接收机，其输出噪声就可以认为是平稳的。但当刚接上电源，该接收机还工作在过渡过程状态下时，此时的输出噪声是非平稳的。另外，有些非平稳过程，在一定的时间范围内可以作为平稳过程来处理。实际上，在很多问题的研究中往往也并不需要在所在时间都平稳，只要在我们观测的有限时间内过程平稳就行了。2.4随机过程的各态历经性在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函数取时间均值，在观察时间足够长时，从概率意义上趋近于该随机过程的集合均值。对于这样的随机过程，我们说它具有各态历经性或遍历性。按照严格的意义，如果一个平稳随机过程的各种时间平均(时间足够长)依概率l收敛于相应的集

7、合平均，则称该随机过程具有严各态历经性或狭义各态历经性，并称该随机过程为严各态历经过程或狭义各态历经过程。2.4随机过程的各态历经性工程上通常只是在相关理论的范围内考虑各态历经过程，称之为宽各态历经过程或广义各态历经过程。设是随机过程的任意一条样本函数，沿整个时间轴的时间平均运算称为随机过程的时间均值。沿整个时间轴的时间平均运算称为随机过程时间自相关函数。设是一个平稳随机过程，如果依概率1成立，则称随机过程的均值具有各态历经性；如果依概率1成立，则称随机过程的自相关函数具有各态历经性。若平稳随机过程的均值和白相关函数均具有各态历经性，则称该随机过程是宽各态历经过

8、程或广义各态历经过程。2