椭圆大题中的向量问题—基础篇

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1、椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题．1．向量的数量积问题记点是轴上的一点，是直线：（不经过椭圆的顶点）和椭圆的两个交点，则计算过程可分为以下三步：I．写出向量的坐标（末初），并将表示成的形式······①II．联立直线和椭圆，得出，；联立，得，则，，III．将，代入①式中，得到，将转化为含的式子∴其中I、II两步可以互换顺序同理，若点，则．特殊情况：当为原点时，基础练习：请按照以下条件作答1．已知斜率为的直线经过点与椭圆交于两点，（1）若点为

2、原点，请写出关于斜率的关系式；（2）已知点，请写出关于斜率的关系式；2．若斜率为的直线经过点与椭圆交于两点（注意），（1）若点为原点，请写出关于斜率的关系式；（2）若点，请写出关于斜率的关系式；（3）若点，请写出关于斜率的关系式；1.1求向量数量积的问题（给出点的坐标）例1：已知椭圆：，直线经过的右焦点与椭圆交于两点，点．（1）写出关于直线的斜率的关系式；（）（2）若，求直线的方程；（）（3）若，求的值；（，）（4）求的取值范围；（）（5）若，求的取值范围；（，）（6）记分别为椭圆的左右顶点，①．若，

3、求直线的方程；（）②．求的取值范围．（）练习1.11．已知椭圆的离心率，若直线：与椭圆恒有两个不同的交点且，求的取值范围．2．已知椭圆的左焦点为，设分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点.，若，求的值．1.2动点分析问题（直线过椭圆顶点的问题）以经过椭圆的左顶点为例．设：且过点与椭圆交于点，联立，得，∴，得，，即点．动点分析问题的过程如下：I．分析问题中涉及的动点；II．按难易程度，通过联立的方法用直线斜率表示出问题中所涉及的动点坐标；III．按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线

4、斜率表示出来；IV．将向量的数量积运用含的式子表示出来．例2：如图，椭圆：，记为椭圆的左右顶点，点为椭圆的上顶点，直线经过点与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与相交于点．当点异于点时．（1）记为直线的斜率，用表示点的坐标；（）（2）用表示出的斜率；（）（3）用表示出点的坐标；（）（4）用表示出、的坐标，并求．（，，）练习1.2：1．已知椭圆:，若为椭圆的右焦点，经过椭圆的上顶点的直线与椭圆另一个交点为，且满足（1）用直线的斜率表示点的坐标；（2）用含的式子表示的坐标，同时表示出的坐标；（3）用含的式

5、子表示，构建方程；（4）解出的值，写出直线的方程.2．已知椭圆若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接交椭圆于点，证明：为定值．（1）记直线的斜率为，用含的式子表示出点的坐标；（2）用含的式子表示出点的坐标；（3）用含的式子分别表示出、的坐标；（4）证明为定值．3．已知椭圆，点，设直线过点与椭圆交于另一点，点在线段的垂直平分线上，且，求的值．（1）设直线的斜率为，用含的式子表示点的坐标；（2）用含的式子表示出的中点坐标，并写出的中垂线方程；（3）用含的式子表示出点的坐标；（4）用含的式子分别表示出，

6、；（5）运用，求直线的方程，并求出点的坐标．2．数量积问题的延伸——垂直问题和角度判断问题2.1直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题．记点是轴上的一点，是直线：和椭圆的两个交点，由之前的讨论可知，，若，则．例3：如图，记为椭圆的上顶点，为椭圆的两焦点，分别为的中点，是面积为的直角三角形．（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程．练习2.11．已知椭圆：，分别为椭圆的左、右焦点，若过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．2．已知椭圆：，短轴上、

7、下顶点分别为，若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴交于点，判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由．3．如图，已知椭圆，设点分别是椭圆和圆上位于轴两侧的动点，若直线与轴平行，直线与轴的交点记为，试证明为直角.2.2角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系①．若，则，即点在以为直径的圆外②．若，则，即点在以为直径的圆上③．若，则，即点在以为直径的圆内2.2.1角度判断例4：记分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线与椭圆交于同的两点，且为锐角，求直线的斜率的取值范围．练习2.2.1

8、1．已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，设过点，斜率为的直线交椭圆于两点，若，求的取值范围．2．设分别为椭圆的左、右顶点，设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形．2.2.2点与圆的位置关系问题例5：已知椭圆：，设直线交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．练习2.2.21．已知椭圆，直线经过椭圆右焦点与椭圆相交于两点，试判断点与以为直径的圆的位置关系．2．已知椭圆：，为的左右顶点，直线经过点且轴，