数学建模1例题解析

《数学建模1例题解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、1.贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额

2、应是多少？(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是：(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解答：(1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即AN=0。利用式子x=A0r(1+r)N(1+r)N-1=200000×0.006×(1+0.006)240(1+0.006)240-1=

3、1574.699=1574.70(元)，即每个月还款1574.70元，共还款1574.70×240=377928.00(元)，共计付利息177928.00元。(2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为A60，利用公式：Ak=A0(1+r)k-x1+rk-11+r-1，所以，A60=200000×(1+0.006)60-1574.70×1+0.00660-10.006=173034.90(元)(3)A60=173034.90元，即第六年初，贷款利率0.8%，所以余下的15年，每个月还款额为：x=A60r(1+r)N(

4、1+r)N-1=173034.9×0.008×(1+0.008)180(1+0.008)180-1=1817.33(元)(4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的12，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数：A204=200000×(1+0.006)204-1574.70×1+0.006204-10.006=50847.64(元)。对于条件(ii)佣金数：A0×10%=20000(元)分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率0.6

5、%/月，17年的存款本息为20000×1+0.006×204=44480元<50847.64(元)即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。2.冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0(T0

6、程为：dTdt=kT-T0此方程为一阶线性微分方程，其通解为：T=Cekt+T0根据题目已知：T0=10℃，t=6时，T=26℃；t=8，T=18℃；带入通解中得：26=Ce6k+1018=Ce8k+10解得：k=-0.3466，C=128.027。可知T=128.027e-0.3466t+10人体正常体温为37℃，令T=37，得t=4.49，可估计凶杀发生时间为3:29。3.锻炼想象力、洞察力和判断力的问题(只简单回答出理由即可)(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山

7、，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？(2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的？(3)张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行

8、回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？(4)一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里，方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家.一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔