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1、作者：作者简介:原文出处:内容提要:吴增牛数学抽象的认知机制及其教学策略吴增生（1962-），男，浙江省仙居县教育局教研室屮学高级教师，浙江省特级教师，教育部第三批国培专家，主要从事屮学数学教育研究.《中国数学教育：初中版》（沈阳）2017年第20174期第页数学抽象是重要的数学核心素养•数学抽象有其特定的含义和要求，数学抽象活动的内容包括概念、法则、命题、方法及系统结构的抽象活动•数学抽象本质上是皮亚杰所说的反省抽象，它包括“投射”“反射”两个基本阶段•数学抽象活动的基本步骤是：分离属性与建构模型一概括与普适化一定义与符号化一系统化，数学抽象必须
2、借助“数学直观”•这种抽象活动的认知机制给数学教学的启示是：设计有针对性的抽象活动步骤，全而而有侧重点地开展齐种抽象活动，引导学生进行及时的反思和总结.期刊名称:复印期号:关键词:标题注释:《初中数学教与学》2017年10期数学抽象/认知机制/教学策略【基金项目】浙江省课题一一基于脑、适于脑和发展脑的数学教学实践研究（2014SC295）・抽象思维是数学思维的核心，研究数学抽象的认知机制，并在数学教学中合理设计数学抽象活动,积累数学抽象活动经验,这是基于数学核心素养的教学设计的必然要求,也是追求数学育人的必然要求.一、数学抽象的含义、内容及基本要求
3、L数学抽象的含义数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学硏究对象并进行硏究的思维过程.数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象岀数韵既念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征及研究.2.数学抽象的内容从内容上看，数学抽象包括数学概念、命题、方法和体系的抽象•数学概念的抽象指的是通过抽象活动形成数学概念；数学命题的抽象指的是通过抽象建立数学概念的因果关系，形成命题和规则；数学方法的抽象指的是通过对数学操作程序的抽象,形成数学方法、数学思想和解决问题的策略；数学体系的抽象指的是通
4、过对概念、命题、方法和思想的抽象,建立概念、命题（规则）之间的联系,形成数学系统•从抽象的来源看,数学抽象既包括从数学外部（如客观现实、其他学科）到数学内部的抽象，又包括数学内部的抽象，通过抽象得到新的数学概念、命题、方法、思想及其系统.从抽象的方式看,有基于知觉运动经验的感性抽象,更多的是基于概念联系，从已有知识中抽象出新的知识的理性抽象2.数学抽象的要求（1）数学抽象首先要求高度概括.数韵既念及命题的高度概括，指的是提升研究对象的数学化水平，从而形成更具有一般性的结论例如，通过观察现实生活中〃一模一样"的图形，关注图形的形状、大小和位置属性,先
5、用〃形状、大小相同"进行初步的数学描述,再进行操作性的〃能完全重合的两个图形"逬行描述,逬一步把研究聚焦到最简单的二维图形三角形，用"各边分别对应相等，各角分别对应相等"进行度量化的数学表征,从而实现数学化,这是基于客观现实的数学化抽象,要求逐步地分离出图形要素及其关系并进行定量表征•而〃平行四边形对边相等"的抽象则需要分析平行四边形的构成要素边的大小关系，通过观察、发现、一般化概括形成猜想，再通过演绎推理证明猜想,是基于图形要素的定量分析和表征进行抽象得到的•数学抽象的高度概括还表现在对数学思想方法的程序化表征.例如,对于用方程解决问题的方程建模
6、思想概括为如图1所示的简约程序.数学抽象的高度概括也包括确定某一领域的共同逻辑基础，给出定义和公理(基本事实)，并在此基础上建立概念及命题之间的关系，构建知识体系•例如，在平行线和全等三角形中就是如此.(2)数学抽象要求结论具有一般性.通过高度概括，使得到的结论更具有一般性.例如，通过字母表示数，得到抽象的数，通过表示数的字母及数之间的运算关系、大小关系，可以表示更具有一般性的数量关系，描述和分析客观规律.(3)数学抽象要求表达准确、简约.表达准确是对得到的对象进行进一步的数学思维并保证其逻辑确定性的前提•而表达简约则是数学抽象追求简约美的必然要求
7、,也是减轻思维过程中工作记忆负荷的必然要求•数学概念和命题抽象中要给岀逻辑确定的〃定义〃〃公理"〃定理〃'法则〃等,并尽可能用符号表示,是这种表达准确、简约要求的具体体现.二、数学抽象的认知机制L皮亚杰的反省抽象理论皮亚杰及其同事用〃反省抽象"来描述数学抽象的心理过程.认为逻辑数学结构既不是发现,又不是发明,而是凭借反省抽象进行的,是完全意义上的建构•反省抽象指的是将个体动作中的协调抽取岀来,并在更高的层面上对这种协调进行重组的过程.他提岀,通过〃投射"和〃反射"两个阶段,人的心理结构可以从较低水平发展到较高水平•〃投射〃指的是较低水平上的操作可以
8、投射到较高水平上作为〃反射"的对象•例如,用温度计度量描述不同的气温,在个体冷暖体验的基础上,把气温数值（摄氏度）投射到数
