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《2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式测评（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四讲用数学归纳法证明不等式测评(时间:90分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用数学归纳法证明当n∈N+时,1+2+22+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为( )A.1B.1+2C.1+2+3+4D.1+2+22+23+24解析:左边=1+2+22+…+25n-1,所以n=1时,应为1+2+…+25×1-1=1+2+22+23+24.答案:D2.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走
2、完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是( )A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)B.f(n)=2f(n-1)(n≥2)C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2)D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)解析:分别取n=1,2,3,4验证,得f(n)=答案:A3.用数学归纳法证明3n>n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析:由n≥3,n∈N知,应验证n=3.答案:C4.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”
3、时,第一步证明中的起始值n0应取( )A.2B.3C.5D.6解析:取n=1,2,3,4,5,6,7计算知n0=5.答案:C5.下列说法中正确的是( )A.若一个命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题C.若一个命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真D.若一个命题当n=1时为真,n=k时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题解析:由完全归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以
4、证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.答案:D6.若命题A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立,则有n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N+)时成立,则有( )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确解析:数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前的正整数不一定成立.答案:C7.用数学归纳法证明(n+1)(
5、n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N)时,证明从n=k到n=k+1的过程中,相当于在假设成立的那个式子的两边同乘以( )A.2k+2B.(2k+1)(2k+2)C.D.解析:当n=k时,左边最后一项为(k+k),当n=k+1时,左边最后一项应为(k+1+k+1)=(2k+2),所以n=k到n=k+1时,式子左边增加了两项(2k+1),(2k+2),减少了一项(k+1).所以两边应同乘以.答案:D8.利用数学归纳法证明“对任意偶数n,an-bn能被a+b整除”时,其第二步论证应该是(
6、)A.假设当n=k时命题成立,再证当n=k+1时命题也成立B.假设当n=2k时命题成立,再证当n=2k+1时命题也成立C.假设当n=k时命题成立,再证当n=k+2时命题也成立D.假设当n=2k时命题成立,再证当n=2(k+1)时命题也成立解析:第k个偶数应是2k,所以应假设当n=2k时命题成立,再证当n=2(k+1)时也成立.答案:D9.用数学归纳法证明“42n-1+3n+1(n∈N+)能被13整除”的第二步中,当n=k+1时为了使用归纳假设,对42k+1+3k+2变形正确的是( )A.16(42k-1+3k
7、+1)-13×3k+1B.4×42k+9×3kC.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1解析:42k+1+3k+2=16×42k-1+3k+2=16(42k-1+3k+1)+3k+2-16×3k+1=16(42k-1+3k+1)-13×3k+1.答案:A10.用数学归纳法证明不等式1++…+成立时,起始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10解析:原不等式可化为,即2,即2-,所以2-,即,即.故26<2n-1,即n-1>6,故n>7,所以起
8、始值最小取8.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立. 解析:∵n=k为偶数,∴下一个偶数为n=k+2.答案:k+212.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切
