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《2020版高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式检测（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四讲用数学归纳法证明不等式检测(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1用数学归纳法证明当n∈N+时,1+2+22+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为( )A.1B.1+2C.1+2+3+4D.1+2+22+23+24解析：当n=1时,应为1+2+…+25×1-1=1+2+22+23+24.答案：D2从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的
2、是( )A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)B.f(n)=2f(n-1)(n≥2)C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2)D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)解析：分别取n=1,2,3,4验证,得f(n)=n,n=1,2,f(n-1)+f(n-2),n≥3.答案：A3用数学归纳法证明：cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=sin2nα2sinα(sinα≠0,n∈N+),在验证当n=1时,等式右边的式子是( )A.sinαB.sin2αC.cosαD.cosα2答案：C4利用数
3、学归纳法证明：“3×5×…×(2n-1)2×4×…×(2n-2)<2n-1”时,n的最小值n0应为( )A.1B.2C.3D.4解析：∵2n-2>0,∴n>1.∴n的最小值n0=2,此时,原不等式为32<3成立.故选B.答案：B5下列说法中正确的是( )A.若一个关于正整数n的命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题B.若一个关于正整数n的命题当n=k(k∈N+)时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题C.若一个关于正整数n的命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真D.若一个关于正整数n的命题当
4、n=1时为真,n=k(k∈N+)时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题解析：由完全归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.答案：D6若命题A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立,则有n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N+)时成立,则有( )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整
5、数都成立D.以上说法都不正确解析：数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前的正整数不一定成立.答案：C7用数学归纳法证明：“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步当n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到( )A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1解析：由条件知,左边是从20,21一直到
6、2n-1连续相加的,因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+…+2k-1+2k,而右边应为2k+1-1.答案：D8用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”时,第二步正确的证明方法是( )A.假设当n=k(k∈N+)时成立,证明当n=k+1时命题也成立B.假设当n=k(k是正奇数)时成立,证明当n=k+1时命题也成立C.假设当n=2k+1(k∈N+)时成立,证明当n=2k+3时命题也成立D.假设当n=2k-1(k∈N+)时成立,证明当n=2k+1时命题也成立解析：假设的n的取值必须取到初始值1
7、,且后面的n的值比前面的值大2.答案：D9用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+)时,从k到k+1,左边需要增加的代数式为( )A.2k+1B.2(2k+1)C.2k+1k+1D.2k+3k+1解析：当n=k时左边的最后一项是2k,n=k+1时左边的最后一项是2k+2,而左边各项都是连续的,所以n=k+1时比n=k时左边少了(k+1),而多了(2k+1)(2k+2).因此增加的代数式是(2k+1)(2k+2)k+1=2(2k+1).答案：B10已知f(n)=(2n+
8、7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为( )A.30B.26C.36D.6解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,f(1),f(2),f(3)能被36整除,∴猜想f(n)能被36整除.当n=1,2时,由上得证.假设当n=k(k≥2)时,f
