函数极值求解策略

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1、函数极值求解策略对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。下而，我就从几个方而讨论一下，函数图彖在求极值问题中的应用。一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。我们给出问题的一般形式，设aWxWb,求函数丁=£加卜+閒的极值。很容易判断该函数为1=1分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做岀函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值设一2WxW3,求函数丁=兀一2+x+x+l

2、的最值。解：若将函数示为分段函数形式。作出函数图像3x・l(2

3、x+3(0

4、面给出解决这一类问题更一般的方法。ymax=max{f(bi)、i二1、2、3n),(―bi),i二1、2、3n}.二、将极值问题转化为几何问题。运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。1.转化为求直线斜率的最值。例2求函数y=2+c()s&的最值3-sin0分析函数解析式非我们常见的函数模型。通过分析我们发现该函数可以看做过点A(3、2)与B(sin。、一cos&)两点直线的斜率。而动点B的轨迹是圆x2+y2=lo因此我们就将问题转化为了求定点(3、2)与圆x2+y2二10上一点连线的斜率的最大值与最小值。通过图形观察，很容易判断动点B在什么位置吋取得极值。2

5、.转化为求距离的极值。例3/（x）=J/+36-7（x-2）2+4分析当函数关系可以改写为/（x）=&x—0尸+（0—6尸—J（x—2尸+（0—2尸由此可看出，我们很容易看出关系式的几何意义是在x轴上的动点（x、0）到两定点（0、6）,（2、2）的距离之差，根据三角形的性质，可以找出动点所处位置使得函数取得极值。1.将函数关系式转化为解析几何中曲线所对应的方程，从而将函数与解析几何有机的结合起来。例4求/（（）=肋+4+7^二的最值。分析此两数所表示的几何意义比较隐蔽。但经过分析后，如果我们令x=V2774y=R经过消参以后，得=1（（）

6、y所表示63的儿何意义就椭岡在第一象限内的图像。所求极值问题就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭圆的参数方程解决。例5若2x+4y二1求x2+y2的最小值分析函数f（x、y）=x2+y2我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方,而动点（x、y）在直线2x+4y二1上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找-点，使这一点到原点的距离最小的儿何问题。其实质就是求直线到原点的距离。对于此问题，我们就将复杂的二无函数问题转化为简单的解析几何问题。例6若x2+3y2-4x+6y+3^0,贝ljx-3y的最值。分析求二元函数f（x、y）=x-3y在题中约束条件下的最值，

7、如果我们从纯代数的角度入手，那么我们一般会将二元函数转化为一元二次函数，再根据约束条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为（兀-2尸+3（y+l）254,它表示以x、y为坐标的动点必须在椭圆（x-2）2+3（y+l）2=4内或边界。而函数f（x、y）=x—3y可以约束区域内有点在直线上的情况下,直线系屮哪条直线在y轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切的位置，于是我们就将问题简化。结论：在求函数极值的许多实例中，我们都可以用函数图像来解决这一类问题，我们通常称Z为数形结合的思想。用数形结合解决函数极值问

8、题的关键在于：深刻理解并挖决函数解析式所隐含的几何意义，能在坐标平面内人致勾画出与之对应的图象，建立解析式与图像之间的对应关系。这种数与形的结合思想优点在于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。三、利用常见的不等式解决有关函数极值的问题。这一类方法在求极值的广泛采用。但具有很强的技巧性，下面介绍几个常见的不等式以及要此方面的运用。1.如果a】，a2,為是非负数，则⑷+CS+・4丫rrQag••…％当且仅当二a?务时才