剖析两道高考图形题-江西教师网

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1、341100江西省赣县教师进修学校马跃进(mayuejin60@163.com)518108广东省深圳市石岩公学高中部康宇(logkang@163.com)2011年江西省高考数学试题中，有如下两道图形题：A»CD1、理科第10题：如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点•那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M,N在大圆内所绘出的图形大致是()2、文科第10题：如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点o处，一顶点及中心m在丫轴正半轴上，它

2、的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每吋每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为().A.R.C

3、答案：A根据•中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底吋，M最高•”可以看出，上述两种解析显然是定性的，有些含混不清，并且对问题1中点的轨迹是个大圆”判断是错误的.不难看出，上述两个问题的命题背景是解析几何中的摆线,要真正搞清问题的来龙去脉，需要借助于定量分析，即建立坐标系，分别求出相应的动点轨迹方程后，才能够做到.为此，笔者作出如下剖析，供大家参考.问题1：此题是基线为圆的“内摆线”问题.(1)先考虑点旳的轨迹.图1设M的初始位置为M。，小圆0’沿大圆内

4、壁逆时针方向滚动后的切点为A，如图1，建立直角坐标系，设大、小圆半径分别为/?、r（/?>r>0）,ZM｛）OA=t.分别过点O、M作x轴的垂线，垂足为P、0作MS丄0P于S,再设点M的为（兀,刃.则依题意AM.=AM，所以ZAO'M=^t=^L=^LfZOO'kfrrrRt7T又心。恥+Z2Sp,尹―。恥丁一Rt}rR-r1一r2x=OQ=OP一QP=OP一MS=OO'cost-O'MsinAMO'S=(R—门cosZ-rsinr/R-r兀

5、”、1——=(7?-r)cosr+rcosr2)y=QM=PS=P0f-S0=

6、00'sint-OMcosZMO'S=(/?-r)sinr-rcos/n、R-rit.(R-r1一=(/?-r)sinr-rsin1kr2>r丿y即点M轨迹的参数方程为（2）再考虑点N的轨迹.x=(R-r)cost+rcosy=(/?-r)sinr-rsinR-rR-r只需将上述求解屮的冷换为（/为参数）.OMox(R-r}x=(R—r)cost-rcosl厂丿R-r}y=(^-r)sinr+rsin1、r丿得点N轨迹（如图2）的参数方程为（/为参数）.图2yi当r諾时，点M轨迹的参数方程列7T7TZOAC=-,OC=

7、-a.则63i）当“凸轮”向前滚动至M-A'B'C它与x轴的公共点为O'C‘（其中0’为B'C'的中点），上异于点C'的一点O，而“凸轮”的最高点始终为点设ZO'A,Ol=3（O<0<-）,过点M作MQ丄x轴于Q,6/矿-MoQOx图4MP丄AO于P,再设点x=/?cosz（r为参数）；y=0点N轨迹的参数方程为2°（f为参数）.y=Rsint即点M、N的轨迹分别退化为两条线段y=O^~R

8、—a,3M（兀，刃,0（,0）.则2斤点川的坐标为亿2a),A'M=AM()=^a.依题意有t=00x=O1Ol.=2a^O'A,O]=2a0,x=OQ=OO,-QO,=t-MP=2a3-AlMsinZO'A^O}=2a3一一asin0.y=QM=OlP=OlA,-PA'=2a-A,McosZO'A'O^la-^-acosO.x=2a0一2石gsin&即点M轨迹的参数方程为*(&为参数，05&<兰).c2品6y=2aacos33ii)如图5,当“凸轮”向前滚动至它与兀轴的公共点为Q(即「，“凸轮”的最高点为弧上一点N.设Z

9、NQA'=〃(05&<-),过点M作MQ丄兀轴于Q,再设点M(x,y),02(―6/,0).WJ点N的坐标为(—a,2a),0?M=^^-a3-3TT依题意有ZO2MQ=ZOUO2N=0一一.其中点O”为弧/TB‘中的点.x=OQ=OC)2+02Q=辭+歌眇sinZO0Q—小.._2屜‘~x~3TilT