数列求和相关问题

《数列求和相关问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、数列求和相关问题摘要：本文以数列求和为核心，研究下列专题：1数列求和；2无穷级数化简；3数列不等式证明目录第1章常见数列求和方法11.1公式法11.2倒序相加11.3拆项法21.4裂项法21.5错位相减法31.6归纳法6第2章无穷级数化简62.1数列求和62.2构造新和6第3章数列不等式证明83.1求和后缩放83.2不等式缩放后求和93.3累和法11第1章常见数列求和方法高中数列求和公式仅有等差数列和等比数列，然而对于既不是等差数列也不是等比数列我们便需要其它方法来求出•这里列举三种常见的方法：英中裂项法和错位相减法是高考数列常考的知识点.1拆项法；2裂项法；3错位相减1.1公式法1直接用等

2、差数列、等比数列的求和公式求2掌握一些常见数列的前n项和。斤（〃+1）2~1+3+5+・・・+（2匕-1）“1.2倒序相加法如果一个数列与首末两端“等距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即对用倒序相加法，如等差数列的前n项和及时用次方法推导的。如果一个数列｛%｝具冇%+兔=C*，可考虑用倒序相加法。例1求证：E+3C；+5C：+…+（2m+1）C：；=（〃+1）・2"证明：设S〃=C：+3C：+5C；+…+(2n+l)C；把上式右边倒过來由C：=C：「得S”=(2斤+1)C：+(2/1—1)C；+…3即+Q然后两式相加得2S”=(2n+2)(C》+©+•••+C；；-

3、1+C；；)=2(”+1)•2"所以C：+3C：+5C；+…+(2“+l)C；=S+l)・2”4X例2设f(x)=——f求和S=/〔丄、,2002丿'2、,2002丿^oor.2002；这里/(x)+/(l-x)=l所以S=f12002丿<2000、,2002丿’1、,2002丿,两式相加得S2001"T~X般结论，函数心)二f厂具有一个特征，即满足/(x)+/(l-x)=loQX+"a1.3拆项法顾名思义，就是将数列中的项拆开，拆成我们熟知的等差数列或等比数列•当数列是由和组成或者可以化成和的形式时，拆项法往往可以考虑,拆项法重要的是一定要拆成两个我们熟知的两项.也叫做分组求和。如果一个数

4、列的通项可以写成c〃=色+仇的形式，而数列｛an｝f｛bn｝是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和。1(1)求(1—)+(2—)+(3—)++(”)2482"2"答案：也也l_l+]2⑵已知数列仇=3-2",求｛%｝的前n项和S”.答案：S”=3〃-2心+21.4裂项法高中有两个常见的列项是一定要掌握的，一般情况下，所有的裂项都是从该两题中衍生出来的.对于无法用拆项法來裂岀的数列,我们往往研究其通项，看通项是否能推导出裂项的形式.裂项的方法是观察通项公式，将通项裂成两个相邻并且符号相反的项.(母题源)⑴已知勺=，求｛a的前n项和S”./?(n+1)答案：1一斤+1⑵已知数

5、列an=!——产，求｛色｝的前n项和Srl・Vh+1+V/7答案：Sn=4n-推广:盯+戶徧）’后二眉=2后2数列1占dr?'1+2+3+1+(“+1)‘…的前项和。Yl答案：SF3.已知数列｛an｝的前n项和为S“，且an=~~,求S”。Qn+2+n答案：S”=+1+a/t?+2—1—5/24.（2010山东）已知等差数列｛%｝满足:禺=7,兔=26。｛%｝的前n项和为S“。(1)求暫及S“；(2)令bn=-^—（neN）求数列｛仇｝的前n项和7>aH-1答案:11⑴匕=2n+l,S”=M〃+2)(2)Tn=4(n+l)5.（2011新课标全国）等比数列｛色｝的各项均为正数，且2舛+3色

6、=1,孟=%2兔的前n项和。（I）求数列｛色｝的通项公式;(II)设仇=log3aY+log3a2+•••+log3an,求数列说明：第（I）问全化成首项和公比即可解111^=丄旳=丄，第（II）问是裂项法求和。13/1、"答案:（I）士;(11)bn=心，其前n项和二=-竺2”n+11.5错位相减法该式与等比数列前n项和有相似的地方，于是我们考虑能否川等比数列前n项和公式的推导方法来求出该和.错位相减法源于教科书等比数列前n项和的公式推导，建议先看看等比数列前n项和公式的推导.其特点往往要把前n项和想出來才能观察出來,与等比数列前n项相比就是前面多了一个有规律变化的系数.适用条件：等差数列

7、与等比数列的乘积。即：设｛色｝是等差数列，｛仇｝是等比数列。则数列｛G｝(其中Cn=Cln*")町以用错位相减法。1.求和=l+2x+3x2+……nxr,-｝.解：Sn=l+2x+3x2+……nxn~x(1)xSn=x+2x2+3x?+nxn(2)当XH1时，(1)—⑵得：(1-x)Sn=(l-0)+(2x一兀)+(3x2-2兀2)+……+[nxn~｛-(n一]+(0-兀“)=1+兀+兀~+乂彳+x，11_X