高等数值分析

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1、数值积分方法小述一、背景数值积分方法发展的前提是在17世纪以牛顿和莱布尼茨为首的一批数学家发展起來的微积分。在最初的研究中，求解积分的方法便是找到求解原函数的方法，得到原函数，以此为基础解决其他问题。但是在深入的研究屮，逐渐发现一些函数的原函数求解极英困难，茯至无法表示出来，是超越函数，述冇的根木没有原函数，比如对丁延拓函数:sin兀fM=x无法求出它的原函数，这时要求它的积分就无法使用牛顿•莱布尼茨公式了，解决积分的问题便受到阻碍。这种情况下就需要寻求一种新的求积分的方法来解决这些问题了。数值积分方法便在数学家们的需求下发展起來。二、发展历程等距节点的多项式插值求积法的观点最早是1676年

2、出现在Newton给Leibniz的一封信中。1711年，Cotes在总结了牛顿的观点后，系统归纳了小于10个节点的插值求积方法，并发表了一篇相关论文。1743年，Simpson发表他所研究的求积方法。但是从历史上看，对于辛普森的方法，数学家Cavalieri和Gregory似乎研究的更早，而且Cotes也早就得到了这种方法。1814年，数学王子Gauss在研究这个问题吋，通过优化那些求积节点得到一种更高精度的数值求积分方法，随后便发表了他的第一篇关于数值求积分的论文。时间过了100多年，数学家Fejer于1933年，将Chebyshev点作为节点应用于数值求积分中，得到了一种新的方法。196

3、0年，数学家Clenshaw和Curtis研究得到一种更为高效的数值求积公式。Kronrod在1964年发表了他自己的数值求积方法，4年后的Patterson对这种方法进行了推广，得到的方法也为世人所知。值得一捉的是Richardson在1927年发现的外推法，当时并没有用来做数值积分问题。而数学家Romberg在1955年将它应用到数值积分上，取得不小的成果。三、五种数值积分方法对于不能求得其原函数的函数/(%),要计算^f(x)dx就要研究计算定积分的近似方法，即数值积分法。若能已知/(兀)在部分点上的函数值，利用拉格朗日插值，可以构造一个多项式厶(Q来逼近被积函数/(%),而多项式P(x

4、)为被积函数，在区间肚叶上的定积分是容易计算的，这样就可以得到计算定积分的一种数值积分方法，即f(x)dxu(L(x)dx等式右边是多项式的积分，所以可以得到相应的结果f/(x)d并(1.0)k=0其中A为积分后得到的相应系数。利用这种思想可以得到插值型求积公式。1、Newton-Cotes公式将积分区间［以］划分为“等分，步长为h=匕,选取等距节点xk=a+khn(R=0丄…1)构造插值型求积公式。由于此处〃是变量，对公式(1.0)进行稍微变化，写成:fz并（b-°）£cy）.f（耳）ak=0称为Newton-Cotes公式，其'I1C(^｝是Cotes系数，k=0,1,2。令兀=。+仏,则

5、有5打加为叮伫⑪ijwkj$kCotes系数的计算都是多项式的积分，没有实质性的困难。a^当川=1时，解得Cotes系数为此时T=2（/3）+/的）这就是梯形求积公式。在平面儿何中，（/（兀血是以y=f（x）为顶的曲边梯形的而积，IfufL（xXx是以曲线为斜边的梯形而积。因此，梯形公式就是以梯形的面积来近似代替以）=/（兀）为顶的曲边梯形面积。若函数/（兀）在［。,切上具有连续的二阶导数，则梯形公式的截断误差为_打（皿一导（〃）+/◎）“牛尹5）其中梯形公式只有1次代数精度，即对所右一次函数精确成立。b、当n=2时，解得Cotes系数为广⑵—厂(2)_1厂(2)_eo-y-7vi-石此吋S=

6、^(/(a)+/(字)+/@))o2这就是Simpson求积公式。从几何上看是以抛物线为顶点的曲边梯形而积来近似代替y=/（x）为顶的曲边梯形而积，所以Simpson公式也称为抛物线求积公式。若函数/（兀）在⑺"］上具有连续的四阶导数，则Simpson公式的截断误差为7『/（兀皿-¥（/（。）+仃（¥）+/©））"综R⑷⑺Ja622880其中“（a，b）。Simpson公式有3次代数精度，对所有3次以下的函数精确成立。c、当n=4时的Newton-Cotes公式则特别的称为Cotes公式h—ac=——［7/（^0）+32/（^）+12/（%2）+32/（^）+7/（^）］90其中母=a+kh,

7、h=罟。Cotes公式有5次代数精度。2、复合求积公式h—a将积分区间划分为〃等分，xk=a+kh,h=，k=0丄…,一1,n在每个子区间[无，忑+J上分别采用梯形公式就得到了复合梯形公式”一1h川一11"T工广丫(次并牙工”(母)+/(仏)]=[.2)+工/(无)+/0)]Dk厶=()Lk=l复合梯形公式的余项为12在每个子区间上分别采用Simpson公式就等到复合Simpson公式S”=工「/