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《博士研究高等数值分析试》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一.写出n=5时Lagrange插值基函数厶（尤）的表达式;解:/⑴=（无_兀0）（兀_兀1）（兀_"）（无_兀4）（兀_无5）2（兀2—X0）（X2—坷）（兀2一兀3）（兀2—兀4）（兀2一卷）二、设〃x丿的函数值及导数值为：/（0）=1,/（1）=2,f（l）=3，试求次数不超过2的插值多项式。解：因为若/⑴在［a,b］±有三阶连续导数，己知于⑴在山,创上两个互异点心坷上的函数值/（兀0）,/（码）和一阶导数值广（州），则次数不超过二次的插值多项式为%）=产码他）-心）（兀0一西）「（兀0一旺）〜K一兀0并且插值余项
2、为10/?（兀）=匸（兀一天（））（兀一兀［）・厂w（d,b）O所以本题的插值多项式为厶（兀）—（x—I）2—2x（x—2）+3兀（兀一1）=1—兀+2x~二、丘的插值二次式P2（x丿,使导卩2（121丿=11，P2（169）=13，P2（225）=15,计算屈的近似值。解:14992(X-169)(%-225)12688(x-121)(%-225)(169—121)(169—225)吋击册鵲TA⑵）（—69）插值多项式为")=益(—69)(725)一益(“121)(725)+般(221)(-169)故屈的近似值为皿仆益
3、(14*169)(145一225)一耳(145—121)(145—225)+吕(145—121)(145—169)«12.03296721120249608640+499226885824四.对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线yd)=d°+y+a圧k12345-2-1012101029W：取co{x)=1,0()(兀)=1，(P(x)=X,®(x)=X1,p2(x)=d()+d]兀+勺兀2，555555由于£1=5,£兀=0,£兀；=10,£兀；=0,亍兀:=34,乞)[=22,/=!f=l/=!i=li=l/=
4、155£兀必=_1,£fx=79,从而可得法方程组为i=li=lVo10、/、“22、0100al=-1J0034丿&2丿㈣解次方程组可得d()=—0.6a】=—0.1=2.5故所求二次拟和合曲线为y=-0.6-0.1x4-2.5/。五、设入，兀,兀，£是互不相同的节点，？,(x)是插值基函数，求证：对任何k=0,1,2,・・・,n下式成立:(1)Zx；L(x)=xk(2)£(兀一兀)後(兀)二01=0/=()证明:(1)令f(x)=xk(R=0,1,2,・・・,m),则/(兀)的Lagrange插值多项式为5兀)=立(
5、兀)/(%•)二立⑴斤/=0/=0其中/Jx)(i=0,l,2,•••,«)为Lagrange插值基函数。插值余项为恥(兀)=/(%)-Ln(x)=—^―/(/,+1)(歹)©+
6、⑴(H+1)!其中^I1+1(x)=n(x-xz),歹在x0,xp---,x„之间.i=0由于f(x)=xk伙=0,1,2,・・・,力故/(呵)(x)=0,从而心⑴三0,即f(x)=Ln(x))y故n匕kZl-MxK==xK伙=0丄2,…/)i=011(2)根据二项式展开定理有：£(兀-x)k<(x)=X(ZC驰(-旷"©)c；(-兀尸讹(x)
7、r=0Z=0y=0J=0/=0kn=£c；(-i)ii£#ii(x)(由(i)结论可得)j=0i=0C；(-1)S/T卫=£c；(-1)-Fj=0;=o"£c；(-1)S"(1»=o./=0证明：若/（X）二丄一，则/（兀）在节点Xo,X处的n阶差商为a-x•门心西*2,…，£1=；1——；（a-x^a-x^-^a-xj证明：当n二1时，有心］”）"讥——石一尤（）（a-x^a-x^结论成立，假设当n=k-l时成立，对n=k有f［x（）,£,w..,jv］二/［兀0，西，兀2，・・・，£一
8、］一/［坷，兀2，・・・，心］
9、0,P2，'"兀0-£（兀0—£）（a_A：（））（G_X］）・・・（Q_E_J（d_X］）（a_兀2）…・（Q_x“）=［］（Q—州）•••（d—£_J（Xo—心）（0—兀0）（。一£）1（。一兀（））（。一兀］）・••（＞-£）所以对任何F1上式都成立，证毕。七、己知函数y=/（x）的数据如卜-:/（0）=2,/（1）=3J⑵=12,/⑸=147（1）求），=/（x）的三次Lagrange插值多项式及牛顿差商表和牛顿插值公式,并写出截断误差表达式。（2）如果再增加一个节点/（3）=-1，试利用（1）的结果，来求在新的
10、条件下，y=.f（x）的牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。解：（1）即f(x)=Ln(x))y故n匕kZl-MxK==xK伙=0丄2,…/)i=011(2)根据二项式展开定理有：£(兀-x)k<(x)=X(ZC驰(-旷"©)c；(-兀尸讹(x)r=0Z=0y=0J=0/=0kn=£c；(-i)ii£#i
