一元二次方程复习讲义全

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1、....一元二次方程复习讲义一.基本概念1.定义：形如：（）的方程.即：只含有一个未知数，并且所含未知数的最高次数是2的方程，叫一元二次方程.其中a、b、c都是常数，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项；（）叫做一元二次方程的一般式.例题：若方程是关于x的一元二次方程，求m的值.分析：已知方程是关于x的一元二次方程，故可化成.其中方程左边是一个关于未知数x的二次三项式()，方程右边是零。由此可知该一元二次方程的二次项为，次数必须等于2.解：由已知得，解得∴2.一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，时，有：，∴，∴x=0（2）当b=0，时，有：，∵，此方程可转化为：当a与

2、c异号时，>0，根据平方根的定义可知，.即：当b=0，，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根是互为相反数；当a与c同号时，<0，∵负数没有平方根，∴方程无实数根.（3）当，c=0时，有：，此方程的左边可以因式分解，使方程转化为：.即：x=0或，∴，.由此可见：当，c=0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，且两实根中必有一个是0.二.一元二次方程的解法1.首要工作：参考....解一元二次方程时，如果所给的方程不是一元二次方程的一般式，第一步要先把它化为一元二次方程的一般式，然后再确定用什么方法求解.2.解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一

3、元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如：的方程时，可以使用此方法求解.解法步骤：把常数项移到等号右边：方程中各项都除以二次项系数：开平方求出未知数的值：（2）因式分解法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解.解法步骤：把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根.例：解关于x的方程：解：把方程左边因式分解得：∴，（3）配方法：当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可使用此方法.解法步骤：若方程的二次项系数不是1时，方程中各项同除以二次项系

4、数，使二次项系数为1；把常数项移到等号右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根.例1：解方程：解：方程两边同时除以3得：参考....…………………………………把二次项系数先化为1移项，得：……………………………常数项移到等号右边∴………方程两边都加上一次项系数一半的平方即：……………方程左边变成完全平方式，右边合并同类项∴………………………………………方程两边同时开平方∴，………………………最后求出方程的根例2：解方程：解：移项，得：………………………………常数项移到等号右边

5、∴………方程两边都加上一次项系数一半的平方即：…………………方程左边变成完全平方式，右边合并同类项∴……………………………………………方程两边同时开平方∴，………………………………最后求出方程的根（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程.求根公式：一元二次方程（）的求根公式为：（其中、、分别为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项）解法步骤：先把一元二次方程化为一般式；找出方程中a、b、c等各项系数和常数的值；计算出的值；把a,b,的值代入公式求出方程的两个根例题：解方程：（1）（2）x(x+12)=8x+12（3）2解：（1）方

6、程中：a=2,b=-8,c=8参考....==(-4)2-4×1×4=16-16=0∴∴原方程根为.（2）原方程化简得：方程中：a=1,b=4,c=-12==(4)2-4×1×（-12）=16+48=64∴=∴原方程根为：，-6.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2==(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵<0∴原方程无实数根.3.一元二次方程解法练习题（1）用直接开方法解一元二次方程：x+1＝2(2x-1)=7（2）用因式分解法解一元二次方程：5x(x-3)=6-2x2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)3(x-5)2=2(5-x)（3）用配方法解一元二次方程：x

7、2-7x-9=04x2-12x+3=0x(x+4)=8x+123x2–4x–1=04x2–8x+1=0参考....（4）用公式法解一元二次方程：3x2–4x–1=04x2–8x+1=04x2-12x+3=02x2-33x+130=0x2-=0（5）选择适当的方法解下列方程:三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把叫做一元二次方程：（）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）（2）（3）2解：（1）方程中：a=2,b=-8